Статистикой называется функция, зависящая от результатов выборочных наблюдений и служащая мерой расхождения между опытными и гипотетическими значениями вероятностных характеристик случайной величины.

Основная и альтернативная гипотезы образуют систему рабочих гипотез. Обычно при формировании системы гипотез придерживаются правила: основная гипотеза является простой, а конкурирующая (альтернативная) может быть как простой, так и сложной. При этом очевидно, что любая сложная гипотеза является множеством (набором) простых. Так сложная гипотеза вида H₁: mₓ> a может быть заменена множеством простых: H₁': m_x = a' >a, H₁": m_x= a" > a' и т.д.

Каждой основной гипотезе может быть противопоставлено несколько альтернативных. В результате проверки может оказаться, что выборочные данные (результаты испытаний, наблюдений, измерений) не согласуются с гипотезой Hₒ, противоречат ей. Тогда основная гипотеза отклоняется и принимается альтернативная. Решение об отклонении (или принятии) основной гипотезы всегда связано с риском, т.к. всегда существует вероятность того, что расхождение между гипотетическими и опытными данными не являются случайной погрешностью, а обусловлено воздействием кого-то систематического фактора.

Если гипотеза Hₒ отклоняется, когда она верна, то совершается ошибка первого рода. Вероятность этого события равна α. Ошибка второго рода будет иметь место в тех случаях, когда принимается альтернативная гипотеза H₁, хотя в действительности она неверна. Вероятность такого события равна β.

Разность (1-β) представляет собою вероятность обусловленного отклонения основной гипотезы и называется мощностью критерия.

Чем больше мощность критерия, тем меньше вероятность совершить ошибку второго рода (принять "ложь" за "истину").

Увеличению мощности критерия способствует правильная формулировка системы рабочих гипотез и правильный выбор критерия. Если эти условия соблюдают, то для увеличения мощности критерия есть только один путь - увеличение числа испытаний.

Существенным является понятие кривых эффективности критерия.

Такие кривые представлены на рисунке ниже. Как видно, они представляют собой зависимость вероятности β от |∆| при фиксированном объеме выборки n. Здесь |∆|= |a-a'|, где а соответствует основной гипотезе и а' - альтернативной. Для одних и тех же значений |∆| вероятность β тем меньше, чем больше объем выборки.

Основные статистики

В общем случае любая статистика Ѳ есть непрерывная случайная величина с известным законом распределения, функционально связанная с результатами испытаний. Отличительной особенностью статистик является то, что их значения могут быть представлены с гораздо большей точностью, нежели отдельные выборочные значения исследуемой случайной величины. Типичным примером статистики является выборочное среднее - оценка математического ожидания.

Особую роль среди статистик играют те, которые используются в случаях, когда исследуемая случайная величина Х подчинена нормальному распределению. Основные из них имеют свои собственные обозначения и наименования. Таковыми являются:

Z - статистика (условно - статистика Гаусса),

T - статистика (статистика Стьюдента),

V - статистика (статистика Пирсона)

F - статистика (статистика Фишера)

Расчетные формулы для этих статистик имеют вид:

где m_x и s_x² - математическое ожидание и дисперсия величины Х,

Критическая область может быть односторонней (правосторонняя или левосторонняя) и двусторонней. В последнем случае вместо обозначения Ѳ_кр обычно используют обозначения Ѳ₁ (левая граница) и Ѳ₂ (правая граница), как показано на рисунке:

Критические точки должны быть определены. В основу их определения положен принцип практической невозможности маловероятных событий, который реализуется следующим образом.

Задаются достаточно малой вероятностью проявления статистики Ѳ. Обозначают эту малую вероятность через α и называют уровнем значимости критерия проверки. Тогда критическая область ω₀ определяется из условия:

т.е. ω₀ рассматривается как область, вероятность попадания в которую возможных значений Ѳ равна α.

Таким образом, попадание Ѳ в область ω₀ рассматривается как маловероятное событие. Поэтому в тех случаях, когда значение Ѳ_р, рассчитанное по опытным данным, все же попадает в область ω₀, гипотеза Hₒ отклоняется. Если же Ѳ_р не попадает в область ω₀, то гипотеза Hₒ принимается, т.е. полагают, что опытные данные ей не противоречат.

Нетрудно видеть, что уровни значимости α представляют собою количественную меру ошибки 1-ого рода, т.к. именно с вероятностью α гипотеза Hₒ отклоняется, даже если она верна.

Обычно .

Чем меньше α, тем менее вероятность допустить ошибку первого рода. Однако с уменьшением α уменьшается критическая область, а следовательно, становится менее возможным попадание в нее Ѳ_р даже когда гипотеза Hₒ неверна (при α = 0 гипотеза Hₒ всегда будет приниматься независимо от результатов испытаний). Поэтому уменьшение α влечет за собой увеличение вероятности принять неверную гипотезу, т.е. совершить ошибку второго рода (увеличение вероятности β). В этом смысле ошибки 1-ого и 2-ого рода являются конкурирующими.

Обратимся теперь непосредственно к вопросу об определении критических точек.

Если КО является левосторонней, то имеем:

откуда

В случае правосторонней КО:

откуда и .

Для двусторонней КО полагают:

Поэтому:

Общая схема проверки статистических гипотез

В общем случае процедура проверки статистических гипотез включает пять основных этапов, содержание которых представлено в таблице: