Неинерциальные системы отсчета

Первый закон Ньютона утверждает, что состояния покоя и равномерного прямолинейного движения принципиально неразличимы. Другими словами, - это значит, что законы динамики имеют один и тот же вид в различных инерциальных системах отсчета, т.е. скорость движения системы отсчета не влияет на форму записи законов динамики.

Физические утверждения или величины, вид или значения которых не зависят от перехода от одной инерциальной системы отсчета к другой называются инвариантами.

В этом смысле можно говорить, что законы Ньютона инвариантны при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.

Однако ньютоновская механика в неявном виде содержит более сильное утверждение. Так при описании движения автомобиля по выпуклому мосту в уравнениях движения предполагалось, что силы, действующие на тела, имеют одну и ту же величину как в неподвижной системе отсчета, так и в системе отсчета, связанных с самим телом. Фактически это предполагает, что силы остаются инвариантными даже в системах, движущихся с ускорением, т.е. в неинерциальных системах.

То же самое можно сказать относительно массы, хотя в действительности масса при скоростях, сравнимых со скоростью света может изменяться:

 

(1.24)

где v – скорость тела;

с – скорость света;

m ₀ – так называемая масса покоя тела.

Выражение (1.24) может быть выведено из рассмотрения законов динамики в специальной теории относительности, развитой Эйнштейном.

 

z^*

z Рисунок 1.26 Две системы отсчета

а^*

y^*

y

x^*

x

Если силы и масса являются инвариантами в механике Ньютона, то величина ускорения может быть различной в разных неинерциальных системах. Пусть имеются две системы отсчета XYZ и X^* Y^* Z^*, одна из которых (рисунок 1.26) XYZ – покоится, а другая – движется с некоторым ускорением, т.е. является не-инерциальной. В силу установленной инвариантности массы и сил в этих системах имеем: F = F ^* и m = m^*.

Если ускорение тела в «звездной» системе отсчета – а^*, а сама система движется относительно неподвижной системы с ускорением а₀, которое называют переносным ускорением, то общее ускорение телаотносительно системы XYZ складывается из этих ускорений:

 

а = а ₀ + а ^*. (1.25)

 

Кроме этого возможен еще один вклад в выражение полного ускорения. Для пояснения рассмотрим так называемый «движущийся тротуар» - систему

v 3 > v 2> v 1 v 2 > v 1 u v 1 m Рисунок 1.27 «Движущийся тротуар»

параллельных движущихся с различной скоростью дорожек (см рис.1.27) Если тело движется перпендикулярно дорожкам, то при переходе с одной дорожки на другую его скорость будет изменяться. Быстрота изменения скорости определяется двумя факторами: величиной различия скоростей двух соседних дорожек и быстротой перехода тела с одной дорожки на другую, т.е. аК = . (1.26)

 

Это ускорение называется кориолисовым или поворотным. Направление этого ускорения определяется направлением Dv = v_i+1 - v_i (i = 1, 2...) - на рис.1.27 вправо по отношению к вектору скорости u, т.е. перпендикулярно ему.

Этот вид ускорения проявляется во вращающихся системах координат. Величину кориолисова ускорения во вращающейся системе координат можно определить из рассмотрения рис.1.28. На нем тело участвует в двух движениях: вращательном с угловой скоростью w, направленной от читателя перпендикулярно листу, и равномерного со скоростью u, направленной по радиусу вращения. Пусть за малый промежуток времени Dt тело сместится вдоль радиуса на расстояние D R = R₂ - R₁ и при этом повернется на угол Dj = wDt, занимая точки А₁ и А₂ соответственно. Общее изменение скорости состоит из двух слагаемых, одно из которых связано с увеличением тангенциальной скорости вращательного движения при переходе от меньшего радиуса R₁ к большему R₂ ,т.е. Du₁ = wDR = w(R₂- R₁ ).

Второе слагаемое Du₂, изображенное на рисунке (1.28) в правом верхнем углу, обусловлено поворотом вектора u при переходе из положения А₁ в положение А₂:

 

Du₂= uDj = u wDt. (1.27)

Направление слагаемого Du₁ как и на рис.1.27 направлено перпендикулярно u, т.е. вниз. При стремлении Dt к нулю направление Du₂ также стремится к перпендикуляру к u. Поэтому при Dt 0 оба слагаемых совпадают по направлению и

, (1.28)

т.к. по смыслу . Оба сомножителя, входящие в правую часть выражения (1.28), являются векторами. Ускорение а _К - тоже вектор, поэтому в правой части (1.28) должно стоять векторное произведение. Порядок сомножителей в этом произведении должен быть такой, чтобы само произведение было направлено вправо от направления u, поэтому

 

. (1.29)

 

направление u1 вращения Dj Du2 u1 A1 u2 R1 ·   Dj u2 R2 A2 Рисунок 1.28 Определение велчины ускорения Кориолиса.

 

Возвращаясь к рассмотрению ускорения тела в неподвижной системе отсчета, теперь можно утверждать, что оно состоит из трех слагаемых:

 

а = а ₀ + а^* + а_К.