Тема 1. Процентные вычисления

Тема 1. Процентные вычисления

Краткое содержание раздела:

 

Простые проценты. Cложные проценты. Кратное начисление процентов.

Непрерывное начисление процентов. Сравнение наращения по простой и сложной ставкам процента. Дисконтирование и удержание процентов. Сравнение дисконтирования по сложной и простой учетной ставкам. Эффективная учетная ставка. Мультиплицирующие и дисконтирующие множители.

“Правило 70”. Обобщение “Правила 70”. “Правило 100”. Увеличение капитала в произвольное число раз.

Влияние инфляции на ставку процента. Формула Фишера. Темп инфляции за несколько периодов.

Эффективная процентная ставка. Кратное начисление процентов. n-ый период начисления. Учет инфляции.

Эквивалентность различных процентных ставок: простых и сложных процентов, простых и непрерывных процентов, сложных и непрерывных процентов.

Внутренняя норма доходности. Внутренняя норма доходности типичных инвестиционных потоков.

Операции с валютой. Депозиты с конверсией валюты и без конверсии.

Схема . Схема

Введение

Финансовые расчеты, выполняемые в условиях определенности, называются детерминированными методами. Они имеют многовековую историю. Основу этих методов составляют расчеты, связанные с начислением простых и сложных процентов (выдача ссуды, продажа товара в кредит, учет векселя, потоки платежей и др.). Для проведения таких расчетов обычно используют методы, базирующиеся на элементарной математике. Изучению этих методов будут посвящены разделы 1 и 2.

Одним из важнейших факторов в финансовых расчетах является время. Фактор времени, особенно в долгосрочных операциях, играет не меньшую, а иногда даже большую роль, чем размеры денежных сумм. Афоризм «время - деньги» имеет давнюю историю. Он является популярным и сейчас. В его основе лежит принцип неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени. «Сегодняшние» деньги приравниваются к возросшей денежной массе в будущем и, наоборот, вместо денег «потом» можно согласиться на уменьшенные выплаты, но сейчас. Это и составляет основание теории процента.

Влияние фактора времени многократно усиливается в период инфляции. Этот фактор часто является инструментом явного или скрытого мошенничества и недобросовестности. Очевидным следствием принципа временной неравноценности денег является неправомерность суммирования денежных величин, относящихся к разным моментам времени.

Учет фактора времени осуществляется с помощью начисления процентов или дисконтирования.

Основная терминология и обозначения

Процент

Этот термин происходит от латинского слова «pro centum», то есть «на сотню». Иными словами 1% – это сотая часть числа. Это математическое определение процента. Экономическое значение его более емко. В финансовой сфере слово «процент» представляет собой плату за использование денежных средств, выраженную в сотых долях от суммы долга. Таким образом, экономическое значение процента констатирует факт о том, что «за долг надо платить», а также содержит в себе количественную характеристику долга – «сколько требуется платить».

 

Первоначальная сумма Р – величина долга, ссуды.

Процентные деньги (проценты) I – это абсолютная величина дохода от предоставления денег в долг в любой форме.

Наращение – это процесс увеличения денег в связи с присоединением процентных денег к сумме долга Р.

Наращенная сумма S = Р+I.

Процентная ставка i – отношение суммы процентных денег, выплаченных за фиксированный отрезок времени, к величине ссуды

.

Учетная ставка d – это отношение суммы процентных денег, выплаченных за фиксированный отрезок времени, к величине наращенной суммы

.

Период начисления n – интервал времени, к которому относится процентная ставка.

 

1.1. Простые проценты

 

Решение.

P=5000000 руб.	I=Pni
20.06.2013	1) =5000000*87/365*0.15=178767 (руб.)
15.09.2013	2) =5000000*87/360*0.15=181250 (руб.)
i=15 %	3) =5000000*85/360*0.15=177083,3 (руб.)
1)
2)	Функция ДОЛЯГОДА
3)

Решение.

n=5 лет	1) матем. дисконтирование:
S=1000000 руб.	=S/(1+ni)
i=20 %	=1000000/(1+5*0.2)=500000 (руб.)
d=20 %	2) банковский учет:
1)	=S*(1-nd)
2)	=1000000*(1-5*0.2)=0 – дисконтный множитель при простой учетной ставке быстро убывает до 0; n=5 слишком велико для такой операции.

 

 

1.2. Сложные проценты

Решение.

N=1	МН=S/P – самостоятельно
P=2 млн.руб.	1)
=1/4=0,25 г.
1) =10%, =9%,…- % сложн.	2)
2) =10%, =9%,…- % прост.
3) =…= =10% - % слож.	3) - обычное наращение по сложной ставке
4) =…= =10% - % прост.	S=2*(1+0,1)=2.200000
МН, S	4) - обычное наращение по простой ставке
	S=2*(1+0.1)=2.200000
	Комментарий: совпадение S в п.п. 3 и 4 объясняется тем, что n=1 г.

Решение.

n=1	1)
P=5000000
m=2
S=8450000	j=2*(1.3-1)=0.6 (60 %)
=12	2)
1) j	3)
2)	(ок. 80 %)
3)	4) МН=
4) МН	МН=

 

Обобщения «Правила 70»

1) «Правило 72» – приближенный способ расчета срока удвоения суммы вклада при фиксированной годовой процентной ставке

Срок удвоения (в годах) = 72 делить на годовую процентную ставку.

Если процентная ставка составляет от 4% до 100% годовых, то срок удвоения по «Правилу 72» вычисляется с абсолютной погрешностью, не превышающей 4%.

Если процентная ставка составляет от 1% до 15% годовых, то срок удвоения по Правилу 72 вычисляется с относительной погрешностью, не превышающей 3%.

2) Случай простых процентов. Для случая простых процентов «Правило 70» заменяется «Правилом 100», в соответствии с которым срок удвоения капитала определяется по формуле

T=100/i.

3) Кратное начисление процентов. В случае m-кратного начисления процентов за период имеем следующую формулу для срока удвоения капитала

.

Решение.

простые проценты: ;

сложные проценты: лет.

 

Решение.

n=5 лет	1) матем. дисконтирование:
S=1000000 руб.
i=20 %	= 401877.6 (руб.)
d=20 %	2) банковский учет:
1)
2)	=327680 (руб.)

Замечание. Дисконтный множитель при сложной ставке d убывает медленнее, чем при простой. Это выгоднее для должника.

 

Номинальная и эффективная учетные ставки (Е.М. Четыркин, с. 56-57).

 

 

1.3. Практические приложения теории процента

(на примере простой процентной ставки)

 

* Последние два приложения будут рассмотрены в разделе 2.

 

Решение.

n=1/2 года=6 мес.	1) наращенная сумма без учета инфляции:
P=25000 руб.
j=32 %
m=12 h=6%	2) наращенная сумма с учетом инфляции:
С-?

 

Формула Фишера – это формула, устанавливающая связь между темпом инфляции h, номинальной (без учета инфляции) i и реальной (с учетом инфляции) r ставками процента

.

Например, если субъект положил на банковский счёт сумму денег, приносящую 10 % годовых ежегодно, то номинальная ставка составит 10 %. При уровне инфляции 6 % реальная ставка составит только 4 %.

Темп инфляции за несколько периодов. Пусть темпы инфляции за последовательные периоды времени равны соответственно. Тогда темп инфляции за период приближенно равен:

.

Более точное выражение имеет вид:

 

.

Доказательства приведенных формул можно найти в учебном пособии П.Н. Брусов и др. «Финансовая математика», с. 31.

 

Тема 1. Процентные вычисления

Краткое содержание раздела:

 

Простые проценты. Cложные проценты. Кратное начисление процентов.

Непрерывное начисление процентов. Сравнение наращения по простой и сложной ставкам процента. Дисконтирование и удержание процентов. Сравнение дисконтирования по сложной и простой учетной ставкам. Эффективная учетная ставка. Мультиплицирующие и дисконтирующие множители.

“Правило 70”. Обобщение “Правила 70”. “Правило 100”. Увеличение капитала в произвольное число раз.

Влияние инфляции на ставку процента. Формула Фишера. Темп инфляции за несколько периодов.

Эффективная процентная ставка. Кратное начисление процентов. n-ый период начисления. Учет инфляции.

Эквивалентность различных процентных ставок: простых и сложных процентов, простых и непрерывных процентов, сложных и непрерывных процентов.

Внутренняя норма доходности. Внутренняя норма доходности типичных инвестиционных потоков.

Операции с валютой. Депозиты с конверсией валюты и без конверсии.

Схема . Схема

Введение

Финансовые расчеты, выполняемые в условиях определенности, называются детерминированными методами. Они имеют многовековую историю. Основу этих методов составляют расчеты, связанные с начислением простых и сложных процентов (выдача ссуды, продажа товара в кредит, учет векселя, потоки платежей и др.). Для проведения таких расчетов обычно используют методы, базирующиеся на элементарной математике. Изучению этих методов будут посвящены разделы 1 и 2.

Одним из важнейших факторов в финансовых расчетах является время. Фактор времени, особенно в долгосрочных операциях, играет не меньшую, а иногда даже большую роль, чем размеры денежных сумм. Афоризм «время - деньги» имеет давнюю историю. Он является популярным и сейчас. В его основе лежит принцип неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени. «Сегодняшние» деньги приравниваются к возросшей денежной массе в будущем и, наоборот, вместо денег «потом» можно согласиться на уменьшенные выплаты, но сейчас. Это и составляет основание теории процента.

Влияние фактора времени многократно усиливается в период инфляции. Этот фактор часто является инструментом явного или скрытого мошенничества и недобросовестности. Очевидным следствием принципа временной неравноценности денег является неправомерность суммирования денежных величин, относящихся к разным моментам времени.

Учет фактора времени осуществляется с помощью начисления процентов или дисконтирования.