Увеличение капитала в произвольное число n раз.

1. Простые проценты:

, ,

.

2. Сложные проценты:

, , .

 

Пример. За сколько лет при ставке 10% годовых вклад вырастет в 4 раза по схеме простых (сложных) процентов?

Решение.

простые проценты: ;

сложные проценты: лет.

 

Дисконтирование по сложным процентным ставкам

 

Математическое дисконтирование

.

Банковский учет:

,

где d – сложная годовая учетная ставка.

Пример (билет № 15 для сложной ставки). Через 5 лет должник выплатит кредитору сумму в размере 1000000 руб.

1) Какова первоначальная сумма, полученная должником если кредит выдан:

а) под 20 % годовых, проценты простые;

б) под 20 % годовых, проценты сложные.

2) Какую сумму получит за это обязательство кредитор, если он переуступит обязательство банку, который учтет его:

а) по простой учетной ставке 20 % годовых;

б) по сложной учетной ставке 20 % годовых.

 

 

Решение.

n=5 лет	1) матем. дисконтирование:
S=1000000 руб.
i=20 %	= 401877.6 (руб.)
d=20 %	2) банковский учет:
1)
2)	=327680 (руб.)

Замечание. Дисконтный множитель при сложной ставке d убывает медленнее, чем при простой. Это выгоднее для должника.

 

Номинальная и эффективная учетные ставки (Е.М. Четыркин, с. 56-57).

 

 

1.3. Практические приложения теории процента

(на примере простой процентной ставки)

 

* Последние два приложения будут рассмотрены в разделе 2.

 

Начисление процентов в условиях инфляции

Следствия инфляции:

- падение покупательской способности денег (индекс ),

- рост цен (индекс роста цен =1/ ).

Инфляцию необходимо учитывать, по крайней мере, в двух случаях:

1. При расчете наращенной суммы денег.

2. При измерении реальной эффективности (доходности) финансовой операции.

Пусть S – наращенная сумма денег без учета инфляции, С – наращенная сумма с учетом ее обесценения. Тогда

.

Нетрудно связать индекс цен и темп инфляции. Под темпом инфляции h понимается относительный прирост цен за период. Обычно он измеряется в процентах и определяется как

В свою очередь

Например, если темп инфляции за период равен 30%, то это означает, что цены выросли в 1,3 раза.

Инфляция является цепным процессом. Следовательно, индекс роста цен за несколько периодов равен произведению цепных индексов цен:

где – темп инфляции в периоде t.

Если h – постоянный ожидаемый (или прогнозируемый) темп инфляции за один период, то за n таких периодов получим

.

Пример. (Экз. задача № 7) Вклад 25000 рублей положен в банк на полгода с ежемесячным начислением сложных процентов по номинальной ставке 32% годовых. Определить реальный доход вкладчика, если ожидаемый ежемесячный уровень инфляции составит 6%.

 

Решение.

n=1/2 года=6 мес.	1) наращенная сумма без учета инфляции:
P=25000 руб.
j=32 %
m=12 h=6%	2) наращенная сумма с учетом инфляции:
С-?

 

Формула Фишера – это формула, устанавливающая связь между темпом инфляции h, номинальной (без учета инфляции) i и реальной (с учетом инфляции) r ставками процента

.

Например, если субъект положил на банковский счёт сумму денег, приносящую 10 % годовых ежегодно, то номинальная ставка составит 10 %. При уровне инфляции 6 % реальная ставка составит только 4 %.

Темп инфляции за несколько периодов. Пусть темпы инфляции за последовательные периоды времени равны соответственно. Тогда темп инфляции за период приближенно равен:

.

Более точное выражение имеет вид:

 

.

Доказательства приведенных формул можно найти в учебном пособии П.Н. Брусов и др. «Финансовая математика», с. 31.