Проверка гипотезы о равенстве дисперсий

На практике необходимость сравнения дисперсий возникает при сравнении точности приборов, инструментов, методов измерений.

Пусть генеральные совокупности X и Y распределены нормально. Требуется по двум независимым выборкам (x ₁, x ₂, …, x_n) объёма n и (y ₁, y ₂, …, y_m) объёма m, извлечённым из этих совокупностей, проверить гипотезу H ₀: D (X) = D (Y).

В качестве статистического критерия рассматривается отношение большей исправленной дисперсии к меньшей :

.

Если нулевая гипотеза H ₀: D (X) = D (Y) верна, то статистика F имеет распределение Фишера-Снедекора со степенями свободы

k ₁ = n ₁ - 1, k ₂= n ₂ -1, где n ₁ ‒ объём выборки, которая соответствует большей дисперсии, n ₂ ‒ объём выборки, которая соответствует меньшей дисперсии. Значение, вычисленное по формуле, обозначим F_набл.. Если F_набл < F_кр. (a, k ₁, k ₂), то нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

Рассмотрим проверку гипотезы непосредственным расчётом по формулам с использованием встроенных функций.

Пример 1. На двух одинаково настроенных токарных станках обрабатываются детали. Отобраны две пробы: из деталей, изготовленных на 1-ом станке (выборка№1) n = 11 штук, на втором (выборка № 2) – m = 10 штук, и измерены их размеры в мм.

Выборка № 1: 10,7; 11,1; 11,1; 10,8; 11,2; 11,1; 11,0; 11,2; 10,9; 10,8; 11,0.

Выборка № 2: 10,8; 11,4; 11,5; 11,2; 10,9; 11,2; 11,1; 11,2; 11,0; 10,9.

Полагая, что размеры деталей подчиняются нормальному закону распределения, выяснить, с одинаковой ли точностью работают оба станка.

Введём выборочные данные в диапазоны А2:А11 и B2:B12 и тексты-метки в ячейки А1, B1, C2, C3, C4, C5, C6.

В ячейку D2 ввести формулу: =ДИСП(A2:A12). Получим значение исправленной выборочной дисперсии для 1 станка: 0,028909.

В ячейку D3 ввести формулу: =ДИСП(B2:B11). Получим значение исправленной выборочной дисперсии для 2 станка: 0,034333.

Так как D3 > D2, в ячейку D4 введём формулу = D3/ D2. Получим наблюдаемое значение критерия: 1,752621.

Вычислим критические значения критерия. Функция FРАСПОБР(вероятность;степени_свободы1;

степени_свободы2) возвращает обратное значение для F-распределения вероятностей.

Зададим уровень значимости α = 0,05. В ячейки D5 и D6 введём соответственно формулы: =FРАСПОБР (0,05; 9; 10) и =FРАСПОБР(0,025; 9; 10). Получим в ячейках D5 и D6 критическиезначения F_кр.: 3,020383 и 3,778963.

Если в качестве альтернативной гипотезы рассматривается гипотеза H ₁: D (Y)> D (X), то уровню значимости α = 0,05 и степеням свободы k ₁ = 9 и k ₂= 10 соответствует F_кр. = 3,020383. Так как F_набл < _. F_кр., то гипотеза H ₀: D(X) = D(Y) принимается.

При альтернативной гипотезе H ₁: D(Y) ≠ D (X)в качестве критического значения принимается F_кр. = 3,778963, также нет оснований отвергать нулевую гипотезу (1,752621<3,778963).

Вывод: нет оснований считать, что станки работают с различной точностью.

Для проверки гипотезы о равенстве дисперсий можно использовать функцию ФТЕСТ(Массив 1, Массив 2), которая определяет расчётное значение уровня значимости p в случае двусторонней критической области.

Введём в свободную ячейку, например в D7, формулу:

=ФТЕСТ(A2:A12; B2:B11). Получим результат: 0,394. (Уровень значимости для двусторонней критической области, а для односторонней - 0,197). Так как p > 0,05, то гипотеза H₀ принимается на уровне значимости p.

Проверим нулевую гипотезу с помощью инструмента Пакета анализа «Двухвыборочный F-тест для дисперсии». Перейдём на вкладку Данные и в группе Анализ нажмём кнопку Анализ данных. В диалоговом окне Анализ данных выберем инструмент

«Двухвыборочный F-тест для дисперсии» и в окне диалога введём следующие значения:

Нажмём кнопку ОК и получим следующий результат:

В таблице результатов: df ‒ число степеней свободы; . Так как , то альтернативная гипотеза формулируется как H ₁: D(X) < D(Y) и строится левосторонняя критическая область в интервале (0; 0,331). Так как F_кр. = 0,331083845. F_набл > F_кр., следовательно наблюдаемое значение критерия не попадает в критическую область, и нулевую гипотезу следует принять. Значение левосторонней критической точки (показатель F критическое одностороннее) рассчитывается по формуле: = FРАСПОБР (1-0,05; B11; C10).