С разделяющимися переменными, однородные

Основные понятия: дифференциальное уравнение первого порядка, решение, общее решение, общий интеграл, задача Коши, частное решение, интегральная кривая, теорема существования и единственности решения задачи Коши; дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, однородное уравнение первого порядка [1, с. 417-421].

Дифференциальным уравнением первого порядка относительно искомой функции называется уравнение вида

.

Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, имеет вид

.

Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде

или .

При решении таких уравнений сначала разделяют переменные, потом находят общий интеграл, при этом возможна потеря решений (см. решение типовых задач, пример 3).

Однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка имеет вид

(10.1)

или

,

где и однородные функции степени , т.е. и .

Однородное уравнение (10.1) с помощью подстановки ( ), где новая неизвестная функция, приводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.

Задачи А

1. Является ли функция решением уравнения ?

2. Найти общее решение дифференциального уравнения .

3. Решить задачу Коши .

4. Проверить, что функции и являются решениями уравнения проходящими через точку (0; 0). Какое условие теоремы существования и единственности решения здесь нарушается?

5. Какие из дифференциальных уравнений являются уравнениями с разделяющимися переменными: а) ;

б) ; в) ?

6. Найти общее решение дифференциального уравнения .

7. Установить соответствие между дифференциальными уравнениями:

1) 2) 3)

и общими решениями:

А) В) С) D)

8. Какие из дифференциальных уравнений являются однородными уравнениями:

а) ; б) ; в) ?

Задачи Б

Решить дифференциальные уравнения:

9. . 10. . 11. ;

Решить задачу Коши:

12. . 13. .

14. .

15. Построить интегральную кривую уравнения , проходящую через точку .

Домашнее задание

16. Является ли функция решением уравнения ?

Решить дифференциальные уравнения:

17. . 18. . 19. .

Решить задачу Коши:

20. , . 21. .

Дополнительные задачи

22. Решить дифференциальное уравнение .

Решить задачу Коши:

23. . 24. .

25. . 26. .

Решение типовых задач

Пример 1. Проверить, являются ли функции , решениями дифференциального уравнения .

Функция будет решением, т.к. и

для всех А функция не является решением дифференциального уравнения ни на каком интервале, т.к. и равенство выполняется только для отдельных значений – нет такого интервала, на котором равенство выполнялось бы для всех .

Пример 2. Решить задачу Коши .

Исходное уравнение можно записать в виде .

Разделяя переменные, будем иметь . Интегрируя по обе части этого уравнения , ,

получим общий интеграл , .

Потенцируя последнее равенство, получим

или , где , .

Решением уравнения также будет: . Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид , .

Далее, используя заданное начальное условие , получим

, откуда . Следовательно, искомое частное решение имеет вид .

Пример 3. Решить уравнение .

Разделяя переменные и интегрируя , получим , или , где , .

При делении на и потеряли решения , . Итак, общее решение уравнения имеют вид: . Решениями также являются .

Пример 4. Решить дифференциальное уравнение .

Разделив обе части уравнения на , получим .

Это однородное дифференциальное уравнение. Полагаем , тогда и уравнение принимает вид или

. Это уравнение с разделяющимися переменными:

, , .

Так как , то общий интеграл уравнения: .

Ответы

9. 10. . 11. .

12. . 13. . 14. . 15. . 16. Да.

17. . 18. , . 19. 20. . 21. . 22. , . 23. . 24. . 25. . 26. .