метод Эйлера, метод Рунге – Кутты

Основные понятия: численные методы решений дифференциальных уравнений [1, с. 425-428]

Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной

, .

Требуется найти решение на отрезке , где .

Разобьем отрезок на равных частей и получим последовательность где , а шаг интегрирования.

В методе Эйлера приближенные значения вычисляются последовательно по формуле

. (10.6)

По методу Рунге – Кутты (см. комментарий с. 230) второго порядка точности приближенные значения вычисляются по формуле

,

где . (10.7)

Задания для выполнения лабораторной работы

Задача 1. Получить численное решение дифференциального уравнения с начальным условием на отрезке методом Эйлера. Шаг интегрирования принять равным .

1.1. , на отрезке .

1.2. , на отрезке .

1.3. , на отрезке .

1.4. , на отрезке .

1.5. , на отрезке .

1.6. , на отрезке .

1.7. , на отрезке .

1.8. , на отрезке .

1.9. , на отрезке .

1.10. , на отрезке .

1.11. , на отрезке .

1.12. , на отрезке .

1.13. , на отрезке .

1.14. , на отрезке .

1.15. на отрезке .

1.16. , на отрезке .

1.17. , на отрезке .

1.18. , на отрезке .

1.19. , на отрезке .

1.20. , на отрезке .

1.21. , на отрезке .

1.22. , на отрезке .

1.23. , на отрезке .

1.24. , на отрезке .

1.25. , на отрезке .

1.26. , на отрезке .

1.27. , на отрезке .

1.28. , на отрезке .

1.29. , на отрезке .

1.30. , на отрезке .

1.31. , на отрезке .

1.32. , на отрезке .

1.33. , на отрезке .

1.34. , на отрезке .

1.35. , на отрезке .

Задача 2. Получить численное решение дифференциального уравнения с начальным условием на отрезке методом Рунге – Кутты, шаг интегрирования принять равным . Найти абсолютную погрешность и относительную погрешность (в процентах) приближенного решения (сравнить полученный приближенный результат с точным решением при ) (варианты заданий взяты из ).

2.1. , на отрезке .

2.2. , на отрезке .

2.3. , на отрезке .

2.4. , на отрезке .

2.5. , на отрезке .

2.6. , на отрезке .

2.7. , на отрезке .

2.8. , на отрезке .

2.9. , на отрезке .

2.10. , на отрезке .

2.11. , на отрезке .

2.12. , на отрезке .

2.13. , на отрезке .

2.14. , на отрезке .

2.15. , на отрезке .

2.16. , на отрезке .

2.17. при на отрезке .

2.18. , на отрезке .

2.19. , на отрезке .

2.20. , на отрезке .

2.21. , на отрезке .

2.22. , на отрезке .

2.23. , на отрезке .

2.24. , на отрезке .

2.25. , на отрезке .

2.26. , на отрезке .

2.27. , на отрезке .

2.28. , на отрезке .

2.29. , на отрезке .

2.30. , на отрезке .

Решение типовых задач

Пример 1. Получить численное решение дифференциального уравнения с начальным условием на отрезке с шагом , используя методы Эйлера и Рунге – Кутты. Найти погрешности полученных приближенных решений, сравнив их с точным решением (пример из ).

Данное уравнение является уравнением Бернулли, его частное решение имеет вид . Тогда точное значение .

В задаче даны , . Используя расчетную формулу (10.6) метода Эйлера заполняем таблицу 10.2

Таблица 10.2

	3,0	1,2	– 1,04	– 0,208
	3,2	0,992	– 0,67406	– 0,13481
	3,4	0,85719	– 0,48266	– 0,09653
	3,6	0,76066	– 0,36731	– 0,07346
	3,8	0,68720	– 0,29140	– 0,05828
	4,0	0,62892

 

Используя расчетные формулы метода Рунге – Кутты (10.7) заполняем таблицу 10.3.

 

Таблица 10.3

	3,0	1,2	– 1,04	3,1	1,096	– 0,84765	– 0,16953
	3,2	1,03047	– 0,73905	3,3	0,95649	– 0,62503	– 0,12501
	3,4	0,90547	– 0,55356	3,5	0,85011	– 0,47980	– 0,09596
	3,6	0,80951	– 0,43044	3,7	0,76647	– 0,38320	– 0,07606
	3,8	0,73345	– 0,34494	3,9	0,69895	– 0,30932	– 0,06186
	4,0	0,67158

 

Погрешности (абсолютная и относительная ) приближенных значений приведены в таблице 10.4.

Таблица 10.4

Решение			, %
точное	0,66667	–	–
приближенное методом Эйлера	0,62892	0,0377	5,7
приближенное методом Рунге – Кутты	0,67158	0,0049	0,7

Контрольные задания по теме «Дифференциальные уравнения»

1. Доказать, что решением уравнения первого порядка является функция .

2. Определить типы дифференциальных уравнений 1-го порядка:

1) , 2) , 3) ,

4) , 5) .

3. Найти общее решение уравнения .

4. Найти общее решение дифференциального уравнения .

5. Найти – решение задачи Коши: .

6. Найти общее решение дифференциального уравнения

7. Найти общее решение .

8. Проверить, какая из следующих функций является решением уравнения : 1) , 2) , 3) , 4) .

9. Записать линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка относительно искомой функции , если известны корни его характеристического уравнения: .

10. Найти решение задачи Коши: .

11. Найти вид частного решения следующих линейных неоднородных дифференциальных уравнений, не вычисляя неопределенных коэффициентов:

1) , 2) ,

3) , 4) .

12. Найти общее решение дифференциального уравнения .