Глава 4. Плоское движение твердого тела

Основные понятия

Плоским (плоскопараллельным) называется такое движение твердого тела, при котором каждая его точка все время движется в одной и той же плоскости.

Плоскости, в которых движутся различные точки тела, параллельны между собой и параллельны одной и той же неподвижной плоскости. Траектории точек тела при этом являются плоскими кривыми. Плоское движение твердого тела имеет большое значение в технике, так как это движение совершают большинство звеньев в механизмах и машинах. Вращательное движение твердого тела можно считать частным случаем плоского.

Рассмотрим тело, совершающее плоское движение, параллельное неподвижной плоскости Н (см. рис. 31).

Рис. 31

Тогда любая прямая, перпендикулярная к этой плоскости и жестко связанная с телом, будет двигаться поступательно. То есть, все точки этой прямой движутся одинаково. Достаточно изучить движение одной из них, например, точки М. Рассуждая аналогично для точек тела, лежащих на других скрепленных с телом прямых, перпендикулярных плоскости Н, можно сделать вывод, что для изучения плоского движения твердого тела достаточно изучить движение только одного его сечения плоскостью, параллельной плоскости Н. Это сечение в дальнейшем будем называть плоской фигурой и располагать в плоскости чертежа.

Движение плоской фигуры в ее плоскости можно бесчисленным количеством способов разложить на два более простых – поступательное и вращательное, используя положения предыдущей главы. Для этого основную систему координат свяжем с неподвижной плоскостью Н (плоскостью рисунка), а поступательно перемещающуюся подвижную систему координат свяжем с выбранной точкой А плоской фигуры, называемой полюсом (см. рис. 32).

Рис. 32

Тогда плоское движение фигуры разложится на поступательное переносное вместе с выбранной подвижной системой координат и относительное вращательное по отношению к подвижной оси , проходящей через полюс А и перпендикулярной плоскости рисунка. Для характеристики вращательной части плоского движения относительно указанной выше подвижной оси вводится понятие угловой скорости и углового ускорения тела при плоском движении.

Если на плоской фигуре выбрать еще точку В, провести отрезок АВ и задать координаты полюса и угол φ (см. рис. 32) как функции времени

(41)

то записанные уравнения (41) называют кинематическими уравнениями плоского движения тела.

Докажем далее теорему о перемещении плоской фигуры.

Теорема

Плоскую фигуру из одного ее положения в любое другое можно перевести двумя перемещениями – поступательным в плоскости фигуры вместе с выбранным полюсом и поворотом в этой же плоскости вокруг этого полюса. При этом поступательная часть перемещения зависит от выбора полюса, а вращательная часть перемещения не зависит от выбора полюса.

Доказательство

Рассмотрим два любых положения плоской фигуры в ее плоскости, определяемые двумя положениями отрезка АВ, скрепленного с этой фигурой (см. рис. 33).

Рис. 33

Переместим плоскую фигуру из левого положения в правое сначала поступательно вместе с точкой А, причем скрепленный с ней отрезок АВ останется параллельным своему первоначальному положению и займет положение , а затем повернем фигуру вокруг точки на угол до совпадения с .

Далее, выбрав в качестве полюса точку В, переместим фигуру сначала поступательно вместе с точкой В. При этом отрезок АВ займет положение . После этого повернем фигуру на угол вокруг точки до совпадения с . Из рисунка видно, что поступательная часть перемещения зависит от выбора полюса (определяется траекторией полюса), а вращательная часть перемещения не зависит от выбора полюса, так как как накрестлежащие углы и направление поворота вокруг выбранных полюсов тоже одинаково. Выбирая различные полюсы такое перемещение плоской фигуры можно производить бесчисленным количеством способов. Теорема доказана.

Из доказанной теоремы следует, что угловая скорость и угловое ускорение тела при плоском движении не завися от выбора полюса, то есть, в любой момент времени плоская фигура относительно подвижных осей, мысленно скрепленных с различными полюсами, поворачивается с одинаковыми угловыми скоростями и одинаковыми угловыми ускорениями.