Лабораторная работа № 3. Построение пирамиды и её плоских сечений

В соответствии с правилами параллельного проектирования изображение пирамиды строится следующим образом. Сначала строится основание. Это будет некоторый плоский многоугольник. Затем отмечается вершина пирамиды, которая соединяется боковыми ребрами с вершинами основания. На рисунке 1 показано изображение пятиугольной пирамиды.

Сечения пирамиды плоскостями, проходящими через ее вершину, представляют собой треугольники (рис. 2). В частности, треугольниками являются диагональные сечения. Это сечения плоскостями, проходящими через два несоседних боковых ребра пирамиды (рис. 3).

Сечение пирамиды плоскостью с заданным следом на плоскости основания строится так же, как и сечение призмы. Для построения сечения пирамиды плоскостью достаточно построить пересечения ее боковых граней с секущей плоскостью.

Если на грани, не параллельной следу, известна какая-нибудь точка А, принадлежащая сечению, то сначала строится пересечение следа секущей плоскости с плоскостью этой грани – точка D на рисунке 4. Точка D соединяется с точкой А прямой. Тогда отрезок этой прямой, принадлежащий грани, есть пересечение этой грани с секущей плоскостью. Если точка А лежит на грани, параллельной следу, то секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку, параллельному прямой. Переходя к соседней боковой грани, строят ее пересечение с секущей плоскостью и т.д. В итоге получается требуемое сечение пирамиды.

Внутреннее проектирование является центральным с центром проектирования в вершине пирамиды.

1. В некоторых случаях сечение удаётся построить, не прибегая к каким-либо специальным методам, а лишь основываясь на элементарных рассуждениях (и построениях), связанных с построением элементов пересечения прямых и плоскостей. Постройте сечения пирамиды плоскостями, проходящими через точки E, D, F.

		DÎАВС

2. На рисунке показано построение методом следов сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точкиК, L, M. Опишите этапы построения этого сечения.

3. На рисунке показано построение методом внутреннего проектирования сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точкиК, L, M. Опишите этапы построения этого сечения.

4. Постройте сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки K, L, М. Дайте подробное решение одной из ниже приведённых задач на построение сечения. Для решения задачи желательно использовать интерактивную среду «1С: Математический конструктор».

5. Внеаудиторное задание. Решить задачи №№ 56-60 из пособия Игошин В.И. Тетрадь по геометрии для 11 класса. Многогранники и их сечения, площади поверхностей, объёмы. – Саратов, 1997. – 64 с.