Частица находится в потенциальном ящике в основном состоянии. Какова вероятность обнаружения частицы: в средней трети ящика; в крайней трети ящика.

28. Используя соотношение неопределенностей, оценить наименьшие ошибки ∆р в определении импульса электрона и протона, если координаты центра масс этих частиц могут быть установлены с неопределенностью ∆х = 0,01 мм.

29. Время жизни τ возбужденного ядра порядка 1 нс, длина волны излучения равна 0,1 нм. С какой наибольшей точностью (∆ε) может быть определена энергия излучения?

30. Частица находится в бесконечно глубоком одномерном прямо-угольном потенциальном ящике в основном состоянии. Какова вероятность ω обнаружения частицы в крайней четверти ящика?

31. Атом испустил фотон с длиной волны 800 нм. Продолжительность излучения 10 нс. Определить наибольшую точность (∆λ), с которой может быть измерена длина волны излучения.

32. Альфа – частица находится в бесконечно глубоком, одномерном потенциальном прямоугольном ящике. Используя соотношение неопределенностей, оценить ширину ящика, если известно, что минимальная энергия α – частицы 8 МэВ.

33. Электрон находится в бесконечно глубоком одномерном прямоуголь-ном потенциальном ящике шириной L. В каких точках в интервале 0<x<L плотности вероятности нахождения электрона на втором и третьем энергитических уровнях одинаковы? Вычислить плотность вероятности для этих точек. Решение пояснить графиком.

34. Электрон находится в бесконечно глубоком одномерном прямоуголь-ном потенциальном ящике шириной L= 0,1 нм. Определить в электрон – вольтах наименьшую разность энергетических уровней электрона.

35. Частица находится в бесконечно глубоком одномерном прямо-угольном потенциальном ящике шириной L в возбужденном состоянии n = 3. Определить в каких точках интервала 0<x<L плотность вероятности нахождение частицы имеет максимальное и минимальное значения.

Если промежуток времени ∆t <<Т_½, то для определения числа рас-павшихся атомов можно применять приближеггую формулу:

Среднее время жизни τ радиоактивного ядра – промежуток времени, за которой число нераспавшихся ядер уменьшается в е раз:

Число атомов, содержащихся в радиоактивном изотопе:

,

где m – масса изотопа; М – молярная масса; N_A – постоянная Авогадро.

Активность А нуклида в радиоактивном источнике (активность изотопа) если величина, равна отношению числа dN ядер, распав-шихся в изотопе, к промежутку времени dt, за которое произошел распад.

Активность определяется по формуле:

,

или после замены N по основному закону радиоактивного распада

Активность изотопа в начальный момент времени (t = 0)

Пример решения задачи.

При определении периода полураспада T_1/2 короткоживущего радиоактивного изотопа использован счетчик импульсов. За время Δt = 1мин в начале наблюдения (t = 0) было насчитано Δn₁ = 250 импульсов, а по истечении t = 1ч за то же время Δt — Δn₂ = 92 импульса. Определить постоянную радиоактивного распада λ и период полураспада T_1/2 изотопа.

Решение. Число импульсов Δn, регистрируемых счетчиком за время Δt, пропорционально числу распавшихся атомов ΔN. Таким обра­зом, при первом измерении

Δn₁=kΔN₁= kN₁(1 – e^-λΔt) (1)

где N₁ — количество радиоактивных атомов к моменту начала отсчета;

к — коэффициент пропорциональности (постоянный для данного при­бора и данного расположения прибора относительно радиоактивного изо­топа).

При повторном измерении (предполагается, что расположение прибо­ров осталось прежним)

Δn₂=kΔN₂= kN₂(1 – e^-λΔt) (2)

где N₂ — количество радиоактивных атомов к моменту начала второго измерения.

Разделив соотношение (1) на выражение (2) и приняв во внимание, что по условию задачи Δt одинаково в обоих случаях, а также, что N₁ и N₂ связаны между собой соотношением N₂= N₁ e^-λt, получим

где t — время, прошедшее от первого до второго измерения. Для вы­числения λ выражение следует прологарифмировать: , откуда

Подставив числовые данные, получим постоянную радиоактивного распада, а затем и период полураспада:

λ = 1 ч^-1; Т_1/2 = 41,5 мин.

Ответ: λ = 1 ч^-1; Т_1/2 = 41,5 мин.

Задачи.

1. Определить начальную активность А₀ радиоактивного препарата магния ²⁷Mg массой 0,2 мкг, а так же его активность А через время 6 ч. Период полураспада Т_½ магния считать известным.

2. Определить число N атомов радиоактивного препарата иода массой 0,5 мкг, распавшихся в течении времени: 1) t₁ = 1 м; 2)t₂ = 7 сут.