Принципы выбора стратегии в играх с единичным экспериментом

 

Так как введение функции риска сводит игру с единичным экспериментом к форме, аналогичной игре без эксперимента, то остаются справедливыми все принципы выбора стратегии статистика. Отличие состоит только в том, что вместо минимизации средних потерь, статистик должен теперь минимизировать средний риск.

Например, согласно принципу минимакса выбирается стратегия , при которой средний риск будет минимальным при наихудшем для статистика состоянии природы:

 

. (3.18)

 

И игра решается сведением к задаче линейного программирования.

Отметим также, что при определении среднего риска можно исходить и из дополнительных потерь .

Для применения байесовского принципа введем понятие ожидаемого риска, под которым будем понимать средний риск с учетом всех возможных состояний природы и априорного распределения вероятностей . А именно:

. (3.19)

И оптимальной будет такая решающая функция , при которой ожидаемый риск будет минимальным:

 

. (3.20)

 

При этом риск называется байесовским.

 

№ 3.10. Определить минимаксную и байесовскую стратегии в задаче о технологической линии с проведением единичного эксперимента.

Решение. Сведение задачи к - игре позволяет получить следующие решения:

1) Минимаксная стратегия -

.

2) Байесовская стратегия: , при которой

 

.

 

Пример задачи принятия решений в сельском хозяйстве

 

Рассмотрим задачу о том, на каких участках сажать картофель: на влажных , или на засушливых . Множество состояний природы состоит из двух элементов: - влажное лето (осадков будет выше нормы), - сухое лето (осадков будет ниже нормы). По результатам многолетних наблюдений известна соответствующая прибыль в расчете на 1 га (в у.е.):

 

 

Так как размерность задачи мала, то решение этой статистической игры можно будет продемонстрировать аналитически.

Определим функцию потерь в виде разности между наибольшей прибылью (25) и прибылью которую можно получить во всех остальных случаях:

20 0

5 17

 

Определим множество исходов эксперимента как: - наблюдается (весной) большое количество осадков, - малое количество осадков, со следующими условными вероятностями :

 

	0,60	0,30
	0,40	0,70

 

Построим пространство решающих функций :

 

 

и вычислим функции риска, представив для удобства расчетов потери и условные вероятности в одной таблице:

 

			0,60	0,40
			0,30	0,70

 

Тогда можем получить следующие функции риска:

 

,

,

,

,

,

,

,

.

 

Представим полученные значения в виде матрицы (таблицы) рисков:

 

		13,4	8,6

 

Видно, что стратегия является недопустимой, так как при сравнении ее со стратегией , получаем следующие неравенства: . Поэтому стратегию можно исключить. Это приводит к следующей матрице рисков:

 

		8,6

 

Найдем сначала байесовское решение, предполагая, что априорное распределение вероятностей состояний природы имеет вид: .

Тогда средние потери (риски) будут равны:

 

,

,

,

 

Видно, что

.

 

Следовательно, оптимальной байесовской стратегией будет стратегия : если весной много осадков (), то принимается решение о том, что картофель надо сажать на засушливых участках; если весной будет мало осадков (), то принимается решение о том, что посадки надо осуществить на влажных участках.

Найдем теперь минимаксное решение . Согласно принципу минимакса необходимо выполнение следующих условий:

 

где - цена игры. Разделив на все неравенства, получаем задачу линейного программирования.

Найти

,

при ограничениях:

 

Решив эту задачу, получаем:

 

,

то есть

,

и

 

.

 

Таким образом, минимаксная стратегия заключается в выборе стратегии с вероятностью 0,0385, и стратегии с вероятностью 0,9615. Это означает, что если весной наблюдается большое число осадков , то с вероятностью 0,0385 принимается решение , а с вероятностью 0,9615 - решение . Если же весной наблюдается малое число осадков , то принимается решение . Кроме того, видно, что минимаксная стратегия более осторожна, чем байесовская, так как .

Если решать эту задачу без проведения эксперимента, то легко можно получить:

а) байесовское решение: ;

б) минимаксное решение: .

Видно, что проведение эксперимента действительно позволило улучшить результаты статистика, особенно минимаксное решение.