Принцип максимального правдоподобия

 

Согласно принципу максимального правдоподобия, за оценку состояния природы принимают то состояние, которое представляется наиболее вероятным по результатам эксперимента. Например, для № 3.11 получаем, что при исходе эксперимента наиболее вероятным будет состояние природы , так как . Поэтому можно считать, что состоянием природы при будет , и принимать решение о выборе стратегии при этом предположении.

То есть в задаче о технологической линии принцип максимального правдоподобия рекомендует статистику применение следующих стратегий:

а) - при исходе эксперимента ;

б) - при исходе эксперимента ;

в) - при исходе эксперимента .

Этот принцип часто применяют для выбора решений в, так называемой, двухальтернативной задаче, когда статистику обязательно надо принять решение о выборе одной из двух чистых стратегий или .

Наглядно это можно продемонстрировать на примере, называемой задачей о радиолокационной станции (РЛС). В этой задаче имеет место два состояния природы: - цель есть, - цели нет. Оператор по наблюдениям за экраном (по результатам эксперимента) может принять одно из двух решений: - цель есть, - цели нет. При этом он может допустить ошибки двух видов:

 

	Правильно	Ошибка 1 рода, «ложная тревога»
	Ошибка 2 рода, «пропуск цели»	Правильно

 

И для принятия решений в такой задаче часто используют отношение правдоподобия

, (3.23)

и говорят, что имеет место проверка по отношению правдоподобия, если задано число такое, что решение принимается согласно следующему правилу:

а) , если ;

б) , если ;

в) или , если .

Значение выбирают в зависимости от тяжести последствий, к которым может привести неправильно принятое решение. Так в задаче о РЛС должно быть , так как ошибка типа «ложная тревога» может иметь более тяжкие последствия. То есть решение надо принимать только в случае, если есть достаточно большая уверенность в наличии цели, то есть при .

 

Байесовские решения

 

Применение апостериорных вероятностей позволяет находить байесовские решения при каждом конкретном исходе эксперимента . И в отличие от решений, рассмотренных выше, вместо априорных вероятностей применяются апостериорные вероятности .

Найдем байесовские решения в задаче § 3.6. Для этого вычислим апостериорные вероятности при помощи расчетной таблицы:

 

	0,5	0,6	0,4	0,30	0,20	0,667	0,364
	0,5	0,3	0,7	0,15	0,35	0,333	0,636
		0,45	0,55

 

То есть получим следующие апостериорные вероятности:

 

, ,

, .

 

Пусть результатом эксперимента будет . Построим матрицу потерь:

	0,667	0,333

 

и вычислим средние потери:

 

,

 

.

 

Таким образом, при исходе эксперимента байесовской стратегией будет с потерями 5,661.

Если результатом эксперимента будет , то матрица потерь будет иметь вид:

 

	0,364	0,636

 

а средние потери будут равны:

 

,

 

.

 

То есть, при исходе эксперимента байесовской стратегией будет с потерями 10,460.

Таким образом, решения этой задачи имеют следующий вид:

а) байесовское без эксперимента - ;

б) минимаксное без эксперимента - ;

в) байесовское с экспериментом - ;

г) минимаксное с экспериментом - , ;

д) при применении апостериорных вероятностей с исходом эксперимента - ;

е) при применении апостериорных вероятностей с исходом эксперимента - .

Отметим, что аналогично решается статистическая игра и в случае, если потери статистика оцениваются функцией полезности.