Теорема о непрерывности функции, имеющей производную

Теорема. Если функция в некоторой точке x = x ₀ имеет (конечную) производную , то

1) приращение функции может быть представлено в виде

, (3.6)

или, короче, , где a есть величина, зависящая от D x и вместе с ним стремящаяся к нулю, т.е. ;

2) функция в этой точке необходимо непрерывна.

Доказательство. 1) Согласно определению производной, . Пользуясь теоремой, о представлении функции имеющей предел в виде суммы этого предела и бесконечно малой, запишем

, где .

Определяя отсюда D y, придем к формуле (3.6).

2) Чтобы доказать непрерывность функции, рассмотрим выражение (3.6). При D x ®0 сумма в правой части (3.6) обращается в нуль. Следовательно, , или , а это означает, что функция в точке x ₀ непрерывна.

Из доказанной теоремы следует, что функция, имеющая производную в данной точке, будет непрерывной в этой точке. Однако непрерывная в данной точке функция не всегда имеет производную в этой точке. Так, в точке x ₀ = 1 функция y = | x – 1| является непрерывной, но производной в этой точке не имеет. Это означает, что данное условие является лишь необходимым.

Производная сложной функции

Теорема. Пусть 1) функция v = j (x) имеет в некоторой точке x производную , 2) функция y = f (v) имеет в соответствующей точке v производную Тогда сложная функция у = f (j (x)) в упомянутой точке х также будет иметь производную, равную произведению производных функций f (v) и j (x): [ f (j (x)) ] ' = или короче

(3.7)

Доказательство. Придадим х произвольное приращение Δ х; пусть Δ v – соответствующее приращение функции v = j (x) и, наконец, Δ у – приращение функции y = f (v), вызванное приращением Δ v. Воспользуемся соотношением (3.6), которое, заменяя x на v, перепишем в виде (a зависит от Δ v и вместе с ним стремится к нулю). Разделив его почленно на D x, получим

.

Если D x устремить к нулю, то, согласно (3.6) (при условии, что у = v), будет стремиться к нулю и Δ v, а тогда, как мы знаем, будет также стремиться к нулю зависящая от Δ v величина a. Следовательно, существует предел

,

который и представляет собой искомую производную .

Таким образом, производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции.