Основные теоремы дифференциального исчисления

4.1. Теорема Ролля (теорема о корнях производной)

Теорема Ролля. Если функция y = f (х):1) определена и непрерывна на сегменте [ a, b ],2) дифференцируема в каждой точке интервала (a, b),3) на концах сегмента принимает равные значения f (a) = f (b),то внутри сегмента [ a, b ]найдется по крайней мере одна точка ξ,производная в которой f ′ (ξ)равна нулю.

С геометрической точки зрения это означает, что внутри сегмента найдутся такие точки ξ,что касательная к кривой в этих точках параллельна оси Ох (рис.18).

Доказательство. Так как функция f (х)непрерывна на отрезке [ a, b ],то, по 2-ой теореме Вейерштрасса (гл.1, §12, п.12.9), она имеет на этом отрезке наибольшее значение М и наименьшее значение m (рис.18).

Если M= m, то функция f (х)при всех значениях х из промежутка [ a, b ]имеет постоянную величину f (х) = f (a) = f (b) = М. Но тогда в любой точке отрезка будет f ′ (x) = 0, и теорема доказана.

Рис. 18

 

Предположим, что M ¹ m. Мы знаем, что оба эти значения функцией достигаются, но, так как f (a) = f (b),то хоть одно из них достигается в некоторой точке ξ между а и b. Для определенности предположим, что f (ξ) = М. Тогда, так как f (ξ)– наибольшее значение функции, то f (ξ + D x) – f (ξ) £ 0как при Δ х >0, так и при D x <0.

Отсюда следует, что

при D x> 0,

при D x <0.

Так как по условию теремы производная при х = ξ существует, то, переходя к пределу при D x ®0, получим

 

при D x> 0,

при D x <0.

Но соотношения f ′ (ξ)≤ 0 и f ′ (ξ)≥ 0 совместимы лишь в том случае, если f ′ (ξ) = 0. Следовательно, внутри отрезка [ a, b ]имеется точка ξ,в которой производная f ′ (ξ) = 0.

Замечания: 1. Из доказательства теоремы Ролля вытекает справедливость следующего утверждения, которое носит название теоремы Ферма.

Теорема Ферма. Пусть функция f (х)определена в некотором промежутке [ a, b ]и во внутренней точке x этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если существует конечная производная f ′ (ξ) в этой точке, то необходимо f ′ (ξ) = 0.

2. Точек, в которых производная функции равна нулю, может быть больше одной.

Например, функция у = sin х:

1) на сегменте [0,2p]непрерывна

2) имеет производную на интервале (0,2p);

3) f (0) = f (2p) = 0;

у' = cos x, cos x = 0, при .

Таким образом, на [0,2p] имеются две точки , в которых f ' (x) = 0.

3. Если функция не удовлетворяет хотя бы одному из трех условий теоремы, то теорема не выполняется.

Например, функция x Î[-1,1],

1) непрерывна на сегменте [-1,1], 2) f (-1) = f (1) = 1,

Но в точке х = 0 заданная функция производной не имеет. Для этой функции теорема Ролля на [-1,1] не выполняется.

 

4.2. Формула Лагранжа (формула конечных приращений)

 

Большое значение в анализе и его приложениях имеет следующая теорема, принадлежащая Лагранжу.

Теорема Лагранжа. Если функция у = f (х):

1) непрерывна на сегменте [ a, b ],

2) дифференцируема в каждой точке интервала (a, b), то внутри сегмента [ a, b ] существует, по крайней мере, одна такая точка ξ, что справедлива формула

где а < ξ < b. (3.31)

Формулу (3.31) которую обычно записывают в виде

(3.32)

называют формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. Подчеркнем, что в формуле (3.31) и (3.32) не обязательно считать, что b > a.

Геометрическая интерпретация теоремы дана на рис.19. Отношение равно угловому коэффициенту k = tga секущей, проходящей

через точки А (а, f (a)) и В (b, f (b)) кривой у = f (х),а есть угловой коэффициент касательной к кривой у = f (х), проходящей через точку С (ξ, f (ξ)). Формула Лагранжа (3.31) означает, что на кривой у = f (х)между точками А и В найдется такая точка С, касательная в которой параллельна секущей АВ.

Рис. 19

 

Заметим, что теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа (при f (а) = f (b) и касательной параллельной оси Ох). Теорему Лагранжа называют также теоремой о среднем значении (в дифференциальном исчислении).

Доказательство. Рассмотрим на сегменте [ a, b ] следующую вспомогательную функцию:

(3.33)

Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. В самом деле, она непрерывна в [ a, b ], так как представляет собой разность между непрерывной функцией f (х) и линейной функцией. В интервале (a, b) она имеет определенную конечную производную, равную

Наконец, непосредственной подстановкой в формулу (3.33) убеждаемся, что , т.е. F (x) принимает равные значения на концах промежутка.

Следовательно, к функции F (x) можно применить теорему Ролля и утверждать существование в (a, b) такой точки ξ, что = 0. Таким образом, что и требовалось доказать.

Часто удобно бывает записывать формулу Лагранжа в виде, несколько отличном от (3.32). Пусть f (x) удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа. Зафиксируем любое х ₀ из сегмента [ a, b ] и зададим ему приращение Δ х произвольное, но такое чтобы значение (х ₀ + Δ х) также лежало на сегменте [ a, b ]. Применим формулу Лагранжа к сегменту [ х ₀, х ₀ +Δ х ] при Δ х > 0. Число ξ, заключенное в этом случае между х ₀ и х ₀ + Δ х, можно представить так: , где 0 < θ < 1. Тогда формула Лагранжа примет вид:

или (0 < θ <1). (3.34)

Формула Лагранжа в виде (3.34) дает точное выражение для приращения функции через вызвавшее его произвольное конечное приращение Δ х аргумента. Отсюда проистекает и самое название «формула конечных приращений». Эта формула противопоставляется приближенному равенству (§2, п.2.1):

относительная погрешность которого стремится к нулю лишь при бесконечно малом Δ х. Некоторым неудобством формулы Лагранжа является то, что в ней фигурирует неизвестное нам число (или ). Это не мешает, однако, многообразным применением этой формулы в анализе. В качестве примера рассмотрим следующие утверждения, справедливость которых непосредственно вытекает из формулы Лагранжа.

 

Условие постоянства функции

Теорема. Если функция f (x) дифференцируема на интервале (a, b) и если всюду на этом интервале , то функция f (x) является постоянной на интервале (a, b).

Доказательство. Пусть х ₀ – некоторая фиксированная точка интервала (a, b), а х – любая точка этого интервала.

Сегмент [ х ₀, х ] целиком принадлежит интервалу (a, b). Поэтому функция f (x) дифференцируема (а стало быть и непрерывна) всюду на сегменте [ х ₀, х ]. Это дает право применить к функции f (x) на сегменте [ х ₀, х ] теорему Лагранжа. Согласно этой теореме внутри сегмента [ х ₀, х ] найдется точка ξ такая, что

. (3.35)

По условию производная функции f (x), равна нулю всюду в интервале (a, b). Стало быть, и из формулы (3.35) получаем . Это и означает, что функция f (x) постоянна всюду на интервале (a, b).

Данное утверждение имеет простой геометрический смысл: если касательная в каждой точке некоторого участка кривой у = f (x) параллельна оси Ох, то указанный участок кривой у = f (x) представляет собой отрезок прямой, параллельный оси Ох.