Выбор оптимального портфеля ценных бумаг

ВЫБОР ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ

 

Пусть рынок ценных бумаг состоит из n активов

 

,

с вектором доходностей

и ковариационной матрицей

 

.

 

Тогда портфель с представляющим его вектором и условием имеет оценку доходности

,

и риска

.

 

ВЫБОР ПОРТФЕЛЯ С МИНИМАЛЬНЫМ РИСКОМ

 

Найдем портфель с наименьшим риском, то есть решим оптимизационную задачу:

(1)

в модели Блека.

Для решения этой задачи применим метод множителей Лагранжа. С этой целью составим функцию Лагранжа:

 

,

 

и приравняем частные производные первого порядка по и к нулю:

 

(2)

или в матричной форме:

(2’)

Если матрица С невырожденная, то из первого уравнения системы (2’) получим:

.

 

Подставив это выражение во второе уравнение системы:

 

,

 

получим оптимальное значение множителя Лагранжа:

 

. (3)

 

Следовательно, портфель с минимальным риском задается вектором

 

, (4)

 

с наименьшим значением риска:

 

, (5)

 

и соответствующей доходностью:

(6)

Например, при получаем:

 

,

 

где . Тогда

.

или

.

Отметим также, что минимизация дисперсии может быть оправдана только в том случае, если , а это выполняется, если (см. (6)):

 

.

 

Если речь идет о модели Марковица, то добавляется условие неотрицательности . Наличие такого ограничения в виде неравенства существенно усложняет решение задачи в отличие от модели Блека. В этом случае поступают следующим образом: сначала решают задачу минимизации риска без условия неотрицательности (как в модели Блека); и если некоторые окажутся неположительными, то соответствующие активы исключаются из портфеля и задача решается заново.

 

№ 7. Пусть рынок из трех активов имеет параметры:

,

Найти портфель минимальный по риску.

Решение. Составим функцию Лагранжа:

 

.

 

Вычислим частные производные первого порядка и приравняем их к нулю:

 

 

Решив эту систему, получаем оптимальные значения:

 

 

Доходность и риск искомого портфеля будут соответственно равны:

 

ВЫБОР ПОРТФЕЛЯ МАКСИМАЛЬНОЙ ПОЛЕЗНОСТИ

Выбор оптимального портфеля

 

Задача максимизации полезности или формулируется следующим образом:

 

(22)

 

для модели Блека, и добавлением неравенства для модели Марковица.

Геометрически решение такой задачи для модели Блека можно представить следующим образом ( - оптимальный портфель):

 

 

 

 

 

0

Рис.5.

 

То есть оптимальная линия уровня является касательной к эффективной границе критериального множества.

Для модели Марковица возможны два варианта:

 

 

 

 

 

0 0

Рис.6.

Во втором случае оптимальная линия уровня не является касательной к эффективной границе, а имеет с ней общую верхнюю (угловую) точку .

Найдем аналитическое решение задачи (22) методом множителей Лагранжа, для чего составим функцию:

 

или

. (23)

Вычислим ее частные производные первого порядка и приравняем их к нулю:

 

Выразим из первого уравнения этой системы:

 

и подставим во второе уравнение

 

Откуда получаем

или

-

 

оптимальное значение множителя Лагранжа.

Следовательно, оптимальный (с точки зрения полезности) портфель будет иметь вид

(24)

 

Откуда легко вычислить как оптимальное значение полезности , так и оптимальные характеристики портфеля и .

Если в (24) некоторые будут отрицательными, то для модели Марковица поступаем так же, как и в предыдущих параграфах.

 

№ 12. В условиях № 7 найти портфель максимальной полезности при .

Решение. Составим функцию Лагранжа

 

 

и получим систему уравнений:

Выразив из первых трех уравнений

 

и подставив в четвертое уравнение

 

получим

 

Следовательно, оптимальный портфель будет иметь структуру:

 

с доходностью

,

риском

,

и полезностью

.

 

Так как , то оптимальное решение найдено для модели Блэка. Найдем оптимальное решение по Марковицу. Для этого примем и решим задачу снова, с функцией Лагранжа:

 

.

Тогда

 

Решив эту систему, получим портфель, оптимальный по Марковицу:

 

.

 

.

 

Если портфель содержит безрисковый актив , то для построения оптимального портфеля строим следующую функцию Лагранжа

 

 

что приводит к системе уравнений

(25)

 

Подставив во второе уравнение, получаем следующую структуру оптимального портфеля

 

 

№ 13. Решите № 12 при условии, что актив - безрисковый.

Решение. Составив функцию Лагранжа:

 

 

получаем систему уравнений

решение которой имеет вид:

,

с доходностью

,

риском

,

и полезностью

.

 

Так как , то это решение - оптимальное в модели Блека. Найдем решение оптимальное по Марковицу, для чего примем . Тогда

 

и

Решив эту систему, получаем:

 

 

Критериальное множество

 

Пусть инвестор имеет возможность сформировать портфель, содержащий кроме чисто рисковых активов и так называемый безрисковый актив , с параметрами . Тогда ковариационная матрица будет вырожденной, имеющей нулевые первую строку и первый столбец.

,

 

где – невырожденная ковариационная матрица для рисковых активов, а вектор доходностей – .

Представим портфель в виде суммы двух портфелей (безрискового и чисто рискового ):

 

,

где

.

Построим на плоскости критериальное множество для рисковых портфелей и оценку безрискового портфеля .

 

 

 

 

 

0

Рис.7.

Оценка лежит левее , то есть , что естественно, так как в безрисковый актив должен иметь доходность ниже, чем «наилучший по риску» портфель, состоящий из рисковых активов.

Составим следующую линейную комбинацию рискового и безрискового портфелей:

 

, (26)

 

и вычислим его характеристики:

 

,

 

,

 

.

 

Таким образом, риск портфеля, состоящего из безрискового актива и «рискового актива» , равен произведению риска «рискового актива» на его удельный вес в портфеле. Изменяя удельный вес актива , инвестор может построить портфель с различными характеристиками риска и доходности, все они располагаются на отрезках вида и их риск пропорционален удельному весу рискованного актива. Такой портфель можно рассматривать как покупку инвестором рискового актива в сочетании с предоставлением кредита (покупка актива ), так как приобретение актива без риска есть не что иное, как кредитование эмитента. Поэтому портфели на отрезке , где лежит на минимальной границе рисковых портфелей, например, называют кредитными.

Инвестор может построить свою стратегию не только на основе предоставления кредита, но и заимствуя средства под более низкий процент, чем ожидаемая доходность рискового актива , с целью приобретения на них активов , для получения дополнительного дохода. В этом случае , и инвестор может получить более высокий доход, чем , но с более высоким риском, чем , например, это портфель . Поскольку для формирования такого портфеля инвестор занимает средства, то его еще называют заемным портфелем. Это портфели, оценки которых лежат, например, на луче «выше», чем .

Таким образом, на плоскости оценки портфелей (26) будут лежать на лучах, соединяющих оценку безрискового портфеля с оценкой рискового портфеля . Меняя , будем получать различные лучи, совокупность которых и составит критериальное множество для класса всех портфелей вида (26):

 

 

 

 

 

 

 

0

 

Рис.8.

 

Это множество представляет собой часть плоскости, ограниченной парой крайних лучей, выходящих из точки . Правый луч будет касательным к гиперболе (минимальной границе критериального множества портфеля ), а левый луч будет параллелен левой асимптоте этой гиперболы. Оценка - это точка касания граничного луча с гиперболой.

Для модели Марковица случай с безрисковым активом рассматривается также, как и в модели Блека. И критериальное множество на плоскости будет иметь следующий вид.

 

 

 

 

Рис.9.

 

Теорема отделения

 

Вывод, сформулированный в §5.2, о стратегии инвестора по формированию портфеля, включающего в себя процедуры кредитования и заимствования состоит в том, что в качестве рисковой части портфеля он обязательно должен приобретать портфель . В этом случае инвестор может получить портфель с наилучшими параметрами риска и доходности.

Данное положение получило название теоремы отделения, которое гласит, что независимо от индивидуальных предпочтений в отношении формируемого портфеля, инвестор обязательно должен включать в формируемый им портфель. Другими словами, выбор портфеля не зависит от выбора ожидаемой доходности и риска портфеля, так как в этом случае инвестор, как мы видели выше, всегда имеет возможность сформировать портфель с лучшими параметрами ( в случае заемного портфеля, или – в случае кредитного портфеля).

Следовательно, при формировании портфеля инвестор должен только решить: в какой степени финансировать свою стратегию за счет кредитования или заимствования, так как рисковый портфель – это портфель , а конкретный уровень доходности и риска зависит только от масштабов заимствования и кредитования.

 

Рыночный портфель

 

Рыночный портфель – это портфель, в который входят все существующие финансовые инструменты в пропорции, равной их удельному весу в совокупной стоимости финансовых активов на рынке.

Понятие рыночного портфеля вводится для описания поведения инвестора на рынке на основе моделей, которые имеют некоторые ограничения по сравнению с реальными условиями. То есть предполагается, что поведение всех участников рынка соответствует одной и той же модели, то есть они знают все параметры рынка и принимают на ее основе наилучшие решения, основываясь на критериях доходности и риска.

В зависимости от соотношения спроса и предложения цены на активы уменьшаются (при избыточности предложений) или растут (при дефиците). С учетом этих ценовых изменений корректируются и параметры рынка, а следовательно, и спрос на ценные бумаги. Этот процесс самоорганизуется таким образом, что по всем видам финансовых активов предложение и спрос выравниваются. В результате рисковый портфель инвестора начинает копировать структуру рыночного портфеля.

В реальной жизни практически невозможно сформировать рыночный портфель, так как он должен включать в себя все финансовые активы, среди которых много кратковременных (за год образуются и погибают тысячи корпораций, выпускающих свои ценные бумаги), есть малорисковые, относительно которых не ясно, признавать ли их безрисковым и т.д.

Поэтому на практике отбирают наиболее важные для рынка ценные бумаги с длительной историей. Обработка этих активов по специальным правилам позволяет получать разнообразные индексы, каждый из которых может характеризовать эффективность рынка. И в качестве рыночных рассматривают портфели, которые образованы на основе таких индексов, как например: индекс РТС, индекс Доу Джонса (DJIA), Staandard&Poor’s 500 index (S&P500) и так далее.

Кроме того, возможны и отклонения от построенного рыночного портфеля в виду нарушения условий «идеальности» существования рынка. Это – несимметричность информации, нестационарность рынка, воздействие внешних факторов (кризисы на фондовых рынках) и т.д. Поэтому очень важным является вопрос о прогнозировании структуры рыночного портфеля.

Таким образом, в качестве рискового портфеля инвестор выбирает рыночный портфель, и формирование конкретного портфеля производится в зависимости от предпочтений инвестора.

 

 

 

 

 

 

 

0

 

Рис.14.

 

Если требуемый уровень доходности портфеля равен , инвестор формирует либо заемный портфель , либо чисто рисковый портфель . Если уровень доходности равен , то он формирует либо кредитный портфель , либо чисто рисковый портфель .

Если предпочтения инвестора оцениваются функцией полезности , то инвестор формирует либо заемный , либо кредитный , либо рисковый портфели.

 

 

 

 

 

0 0 0

 

Рис.15.

 

И ставки по займам

 

Выше предполагалось, что при формировании заемного портфеля инвестор мог получить заем под процент , равный ставке доходности безрискового актива. На практике же между этими ставками наблюдается существенная разница, причем .

Тогда эффективная граница примет вид :

 

 

 

 

 

 

0

 

Рис.16.

 

Здесь и – точки касания эффективной границы рисковых портфелей с лучами и .

Если инвестор желает ограничить свой риск в пределах , то он должен приобрести актив без риска и рисковый портфель , что позволит получить ему любой кредитный портфель на отрезке .

Если допустимый риск инвестора лежит в пределах , то он формирует портфель на дуге , то есть инвестор не прибегает ни к заимствованию, ни к кредитованию, и любой портфель на будет для него рыночным. Если инвестор согласен пойти на риск больший, чем , то он должен ограничиться портфелями на луче , то есть сформировать заемный портфель.

ВЫБОР ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ

 

Пусть рынок ценных бумаг состоит из n активов

 

,

с вектором доходностей

и ковариационной матрицей

 

.

 

Тогда портфель с представляющим его вектором и условием имеет оценку доходности

,

и риска

.