Лабораторная работа №3. Решение многокритериальных задач линейного программирования

Содержание лабораторной работы

1. Построить оптимизационную модель линейного программирования с несколькими целевыми функциями в соответствии с индивидуальным заданием.

 

2. Найти субоптимальные решения по каждой целевой функции. Результаты занести в матрицу значений.

3. Сформировать матрицу оценок. Выбрать компромиссное решение

а) по критерию максимизации минимальной степени достижения цели,

б) по критерию максимальной суммы степеней достижения цели.

4. Сконструировать новый критерий максимальной суммы степени достижения цели путем свертывания. Найти оптимальный план.

5. Построить модель l - оптимизации. Найти оптимальное решение. Определить степень достижения показателями своих оптимальных значений в старой и новой шкалах.

6. В отчете привести исходную модель, матрицы значений и оценок, дать краткие комментарии по результатам.

Рекомендации по выполнению лабораторной работы

1. Рассматривается производственное предприятие, для которого необходимо найти оптимальный план выпуска продукции при наличии нескольких критериев:

В: 30· х ₁ + 60 х ₂ → max

ЧП: 10· х ₁ + 40 х ₂ → max

П: 10· х ₁ + 4 х ₂ → max

х ₁ + 3· х ₂ ≤ 21

2· х ₁ + 3· х ₂ ≤ 24

2· х ₁ + х ₂ ≤ 16

х ₁ ≤ 7

где В – выручка предприятия

ЧП – чистая прибыль

П – прибыль

После решения данной модели по каждому критерию матрица значений примет вид:

Таблица 4.1

Матрица значений

	Значения показателей
Вариант	В	ЧВ	П
В →max
ЧВ →max
П →max
Fi
fi
Δ i

F_i – наилучшее значение показателя;

f_i – наихудшее значение показателя;

Δ i – разброс между наилучшим и наихудшим

значениями.

При допущение равноважности всех рассматриваемых критериев возможен выбор любого из рассматриваемых суботптимальных решений.

Далее необходимо перейти от абсолютных оценок оцениваемых решений к относительным, в результате чего строится “матрица оценок”, состоящая из показателей типа , оценивающих относительное приближение показателей к своим оптимальным значениям.

В рассматриваемом примере матрица оценок примет вид:

Таблица 4.2

Матрица оценок

j i
В →max		0.96	0.89
ЧВ →max	0.93		0.35
П →max	0.73	0.53

 

Критерии выбора оптимального варианта по матрице оценок могут быть различными.

По максимальной из минимальных оценок

Результат поиска оптимального решения по данному критерию можно отразить в матрице оценок:

Таблица 4.3

Результат поиска по максимальной из минимальных оценок

 

j i				Критерий 2.1
В →max		0.96	0.89	0.89
ЧВ →max	0.93		0.35	0.35
П →max	0.73	0.53		0.53

 

Критерий максимальной сумме оценок

Фактически, речь идет о сопоставлении построчных сумм матрицы оценок, что с помощью рассматриваемого примера можно изобразить следующим образом (Табл.4.4):

 

Таблица 4.4

Результата поиска по максимальной сумме оценок

 

j i				Критерий 2.2
В →max		0.96	0.89	2.85
ЧВ →max	0.93		0.35	2.28
П →max	0.73	0.53		2.26

 

2. Свертывание критериев и выбор нового компромиссного варианта.

Следует отметить, что в случае равноважности критериев простейший критерий, полученный способом свертки – максимизация суммарного относительного приближения и может быть представлен в виде

где выбор происходит не из имеющихся вариантов, а с помощью построения новой, усредненной псевдоцелевой функции.

Для рассматриваемого примера такая функция примет вид:

Получаем:

0.231 · х ₁ + 0.327 · х ₂

и далее поставленная задача должна быть решена.

3. Выбор компромиссного варианта на множестве Паретто по λ критерию осуществляется следующим образом: поскольку матрица значений определяет множество Паретто в пространстве критериев, то текущее значение критерия f_i (x) при всех i находится между f_i и F_i. Вводится показатель, характеризующий степень удаления i критерия от наихудшего значения

где f_i (x) – f_i – абсолютное удаление от минимального значения критерия, после чего вводится требование о том, чтобы значение каждого показателя было не хуже нижней границы:

f_i (x) ≥ f_i + λ ·Δ i, где Δ i = F_i – f_i

Для выполнения требования для каждого критерия необходимо максимизировать удаление всех показателей от их наихудшего значений, для чего вводится единая для всех показателей переменная λ Î [0;1]. Таким образом в рамках выбора оптимального варианта с использованием λ критерия решается задача:

 

λ →max

f_i (x) – λ ·Δ i ≤ f_i, " i

Таким образом, для рассматриваемого примера поиск оптимального решения с помощью λ критерия можно отобразить следующим образом:

В: 30· х ₁ + 60 х₂ – 120 · λ ≥ 330

ЧВ: 10· х ₁ + 40 х ₂ – 130 · λ ≥ 150

П: 10· х ₁ + 4 х ₂ – 50 · λ ≥ 28

х ₁ + 3 х ₂ ≤ 21

2· х ₁ + 3 х ₂ ≤ 24

2· х ₁ + х ₂ ≤ 16

х ₁ ≤ 7

4. По аналогии с описанным выше заданием необходимо сделать индивидуальное задание (см. ниже). По выполнению лабараторной работы необходимо написать отчет в который нужно построить график области допустимых значений x₁ и x₂ с целевыми функциями достигающих своих экстремальных значений (в зависимости от условий заданий). Так же в отчет нужно включить все скрины таблиц, скрины модели и полученные результаты.

Индивидуальное задание к лабараторной работе №3

 

Ограничения:

 

Необходимо решить многокритериальную задачу для всех ограничений описанных выше, для критериев, которые выбираются по варианту (см. ниже[1]). Для упрощения решения задания необходимо, чтобы все критерии либо максимизировались либо минимизировались (сделать это можно путем добавления знака «-» перед критерием, например, чтобы получить из F₂→min, необходимо чтобы было -F₂→max

 

Номер варианта

1. Критерии F₁→max, F₂→min

2. Критерии F₁→max, F₃→min

3. Критерии F₁→max, F₂→max

4. Критерии F₁→max, F₃→max

5. Критерии F₂→max, F₃→max

6. Критерии F₂→max, F₃→max

7. Критерии F₂→min, F₃→min

8. Критерии F₂→min, F₃→max

9. Критерии F₁→min, F₂→max

10. Критерии F₁→min, F₃→max

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Власов М.П. Моделирование экономических процессов: Учебное пособие/ СПбГИЭУ; М.П.Власов, П.Д. Шимко.- СПб: СПбГИЭУ, 2006.- 387 с.

Дорохина Е.Ю., Халиков М.А. Моделирование микроэкономики. Учебное пособие для вузов / Под общ. ред. Н.П. Тихомирова – М.: Издательство “Экзамен”, 2003. – 224 с.

Конюховский П.В. Математические методы исследования операций в экономике – Спб.: Изд-во “Питер”, 2000. – 208 с.

Кундышева Е.С. Математическое моделирование в экономике: Учебное пособие / Под науч. ред. проф. Б. А. Суслакова. – М.: “Дашков и К^о”, 2004. – 352 с.

Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. – 2-е изд, испр. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 320 с.

Таха Х. Введение в исследование операций: В 2-х книгах. Пер. с англ. – М.: Мир, 1985.

Шимко П.Д. Оптимальное управление экономическими системами: Учеб. пособие. – СПб.: Издательский дом “Бизнес-пресса”, 2004. – 240 с.

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 1