Функция нескольких переменных (ФНП).

Функция нескольких переменных (ФНП).

Определение функции двух переменных ______________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

График функции 2-х переменных.____________

_________________________________________________________________________________________________________

 

Линия уровня_________________________

___________________________________

______________________________________________________________________

Простейшим примером функции нескольких переменных, используемой в экономике, является производственная функция.

Производственная функция – зависимость результатов производственной деятельности (выпуска продукции) от обусловивших его факторов – затрат ресурсов.

Производственная функция двух переменных вида называется функцией Кобба-Дугласа. Параметры α и β – частные эластичности выпуска продукции (постоянные величины) по отношению к переменным факторам х и у. График этой функции представляет собой некоторую поверхность трёхмерной системы координат, построение которой может вызвать определённые сложности. Но можно значительно упростить задачу, зафиксировав одну из переменных, как постоянную, придавая ей определённые значения.

Пример. Изменяя величину фонда заработной платы постройте производственную функцию , где - объем товарной продукции в стоимостном выражении, х - фонд заработной платы (млрд. руб.), у - стоимость основных фондов (млрд. руб.).

§ 2. Частные и полное приращения функции двух переменных. Частные производные функции двух переменных.

 

Пусть задана функция z = f (x, y). Так как х и у – независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая оставаться постоянной. Дадим независимой переменной х приращение , сохраняя значение у неизменным. Тогда z получит приращение, которое называют частным приращением z по x и обозначают:

 

Сформулировать самостоятельно частное приращение z по y ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Определение частной производной по х _____________________________________________

 

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Частная производная по х обозначается одним из символов: ; ; ;

Аналогичным образом даётся следующее определение (самостоятельно)

Определение частной производной по y _____________________________________________

 

 

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Частная производная по у обозначается одним из символов: _______________________

Пример. Найти частные производные функции двух переменных по каждой из переменных: х и у.

Решение. Производную найдём, считая х переменной, а у постоянной величиной:

Производную найдём, считая у переменной, а х постоянной величиной:

Геометрический смысл частных производных функции двух переменных.

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

 

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Частные производные высших порядков.

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Схема формирования частных производных высших порядков функции двух переменных.

 

 

 

 

 

 

Определение. Смешанными частными производными называют___________________________

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Теорема (о смешанных производных) ______________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Принимаем теорему без доказательств.

Пример. Найти частные производные второго порядка функции .

Решение. Производную найдём, считая х переменной, а у постоянной величиной:

Производную найдём, считая у переменной, а х постоянной величиной:

Вторые производные по х и по у будем искать, дифференцируя найденные производные первого порядка:

 

Мы убедились, что теорема выполняется:

 

Приложение полного дифференциала к приближённым вычислениям.

Решение.

1) Находим производные первого порядка.

2) Находим критические точки. Для этого решим систему уравнений:

 

Получаем две критические точки: __________________

3) Находим производные второго порядка:

4) Исследуем первую критическую точку:

 

Следовательно, ________________________________________________

 

 

 

5) Исследуем вторую критическую точку:

 

Следовательно, ________________________________________________

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию .

Решение. (самостоятельно)

1) Находим производные первого порядка.

2) Находим критические точки. Для этого решим систему уравнений:

 

Получаем две критические точки: __________________

3) Находим производные второго порядка:

4) Исследуем первую критическую точку:

 

Следовательно, ________________________________________________

 

5) Исследуем вторую критическую точку:

 

Следовательно, ________________________________________________

 

 

Функция нескольких переменных (ФНП).

Определение функции двух переменных ______________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

График функции 2-х переменных.____________

_________________________________________________________________________________________________________

 

Линия уровня_________________________

___________________________________

______________________________________________________________________

Простейшим примером функции нескольких переменных, используемой в экономике, является производственная функция.

Производственная функция – зависимость результатов производственной деятельности (выпуска продукции) от обусловивших его факторов – затрат ресурсов.

Производственная функция двух переменных вида называется функцией Кобба-Дугласа. Параметры α и β – частные эластичности выпуска продукции (постоянные величины) по отношению к переменным факторам х и у. График этой функции представляет собой некоторую поверхность трёхмерной системы координат, построение которой может вызвать определённые сложности. Но можно значительно упростить задачу, зафиксировав одну из переменных, как постоянную, придавая ей определённые значения.

Пример. Изменяя величину фонда заработной платы постройте производственную функцию , где - объем товарной продукции в стоимостном выражении, х - фонд заработной платы (млрд. руб.), у - стоимость основных фондов (млрд. руб.).

§ 2. Частные и полное приращения функции двух переменных. Частные производные функции двух переменных.

 

Пусть задана функция z = f (x, y). Так как х и у – независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая оставаться постоянной. Дадим независимой переменной х приращение , сохраняя значение у неизменным. Тогда z получит приращение, которое называют частным приращением z по x и обозначают:

 

Сформулировать самостоятельно частное приращение z по y ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Определение частной производной по х _____________________________________________

 

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Частная производная по х обозначается одним из символов: ; ; ;

Аналогичным образом даётся следующее определение (самостоятельно)

Определение частной производной по y _____________________________________________

 

 

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Частная производная по у обозначается одним из символов: _______________________

Пример. Найти частные производные функции двух переменных по каждой из переменных: х и у.

Решение. Производную найдём, считая х переменной, а у постоянной величиной:

Производную найдём, считая у переменной, а х постоянной величиной: