Геометрический смысл частных производных функции двух переменных.

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

 

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Частные производные высших порядков.

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Схема формирования частных производных высших порядков функции двух переменных.

 

 

 

 

 

 

Определение. Смешанными частными производными называют___________________________

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Теорема (о смешанных производных) ______________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Принимаем теорему без доказательств.

Пример. Найти частные производные второго порядка функции .

Решение. Производную найдём, считая х переменной, а у постоянной величиной:

Производную найдём, считая у переменной, а х постоянной величиной:

Вторые производные по х и по у будем искать, дифференцируя найденные производные первого порядка:

 

Мы убедились, что теорема выполняется:

 

Полный дифференциал функции.

По рис.4 _______________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Определение функции, дифференцируемой в точке. _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

(1)

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Определение полного дифференциала. ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

(2)

Примем без доказательств, что если функция z = f (x,y) дифференцируема в точке M (x; y), то и . Приращения , . Тогда равенство (2) можно переписать, как

 

 

Приложение полного дифференциала к приближённым вычислениям.

Линеаризация функции в окрестности точки.

Постановка задачи и вывод формулы. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пример. Вычислить приближенное значение функции в точке с помощью полного дифференциала, оценить абсолютную и относительную погрешность.

Решение. ______________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

§ 7. Экстремум функции двух переменных.

Окрестность точки______________________________________

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Определение максимума функции двух переменных_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Определение минимума функции двух переменных._________________ _______

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Определение экстремума._______________________________________________________ _______________________________________________________________________________________

Теорема (необходимое условие экстремума)__________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Принимаем без доказательств.

 

Необходимое условие экстремума не является достаточным (!)

Пример. Рассмотрим функцию (рис. 10).

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Определение критической (стационарной) точки второго рода ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

 

Для ответа на вопрос, является ли точка области определения функции точкой экстремума, нужно использовать достаточное условие экстремума.

Теорема (достаточное условие экстремума)__________________________________________

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пример 1. Исследовать на экстремум функцию .

Решение.

1) Находим производные первого порядка.

2) Находим критические точки. Для этого решим систему уравнений:

 

Получаем две критические точки: __________________

3) Находим производные второго порядка:

4) Исследуем первую критическую точку:

 

Следовательно, ________________________________________________

 

 

 

5) Исследуем вторую критическую точку:

 

Следовательно, ________________________________________________

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию .

Решение. (самостоятельно)

1) Находим производные первого порядка.

2) Находим критические точки. Для этого решим систему уравнений:

 

Получаем две критические точки: __________________

3) Находим производные второго порядка:

4) Исследуем первую критическую точку:

 

Следовательно, ________________________________________________

 

5) Исследуем вторую критическую точку:

 

Следовательно, ________________________________________________

 

 

Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области. Глобальный экстремум.

 

Постановка задачи. ____________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________