Навигация:

Главная Случайная страница Обратная связь ТОП Интересно знать Избранные Новые материалы

Топ:

Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...

Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...

Интересное:

Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...

Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...

Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...

Дисциплины:

Автоматизация Антропология Археология Архитектура Аудит Биология Бухгалтерия Военная наука Генетика География Геология Демография Журналистика Зоология Иностранные языки Информатика Искусство История Кинематография Компьютеризация Кораблестроение Кулинария Культура Лексикология Лингвистика Литература Логика Маркетинг Математика Машиностроение Медицина Менеджмент Металлургия Метрология Механика Музыкология Науковедение Образование Охрана Труда Педагогика Политология Правоотношение Предпринимательство Приборостроение Программирование Производство Промышленность Психология Радиосвязь Религия Риторика Социология Спорт Стандартизация Статистика Строительство Теология Технологии Торговля Транспорт Фармакология Физика Физиология Философия Финансы Химия Хозяйство Черчение Экология Экономика Электроника Энергетика Юриспунденкция

Тема 3. « Исследование функций и построение графиков»

2017-11-22

310

0.00 из 5.00 0 оценок

Заказать работу

Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 8Следующая ⇒

Алгоритм исследования функций:

N	Исследование	Комментарии
	Д(у) – область определения	Знаменатель не равен нулю
	Чётность	- функция чётная (симметрия относительно ОУ) - функция нечётная (симметрия относительно начала координат) - функция общего вида (симметрии нет)
	Пересечение с осями координат	С ОХ: у = 0, х =? С ОУ: х = 0, у =?
	Первая производная	Вычисление по таблице и правилам
	Критические точки первого рода, промежутки монотонности, точки экстремума	1) (найти корни уравнения, отметить их на прямой, разбить на промежутки) 2)определить знак производной в каждом интервале(подставить удобное число в производную), 3) сделать вывод
	Вторая производная	Вычислить производную функции из п.4
	Критические точки второго рода, выпуклость графика, точки перегиба	1) (найти корни уравнения, отметить их на прямой, разбить на промежутки) 2)определить знак производной в каждом интервале(подставить удобное число во вторую производную), 3) сделать вывод
	Асимптоты	1) вертикальные (если есть точки разрыва) 2) горизонтальные 3) наклонные
	Дополнительные точки	1)В таблицу вносят все критические точки и ближайшие к ним; точки пересечения с осями; точки, ближайшие к вертикальным асимптотам 2) вычислить значения у (подставить х в начальную функцию)
	График	Поставить на координатной плоскости точки и соединить их, учитывая результаты исследования

Пример 1:Постройте график функции

. Решение. 1. Данная функция определена на всей числовой прямой за исключением х =3, т.к. в этой точке знаменатель обращается в ноль. 2. Для определения четности и нечетности функции найдем

. Видим, что

, следовательно, функция

ни четная, ни нечетная. 3. Найдем точки пересечения с осями координат. Для нахождения точки пересечения с осью Ох примем у =0. Получим уравнение:

. Итак, точка (0; 0) – точка пересечения с осями координат. 4. Найдем производную функции по правилу дифференцирования дроби:

. 5. Для нахождения критических точек первого рода найдем точки, в которых производная функции равна 0 или не существует.

, если

=0, следовательно,

. Произведение тогда равно 0, когда хотя бы один из множителей равен 0:

или

не существует, если знаменатель (х -3)² равен 0, т.е.

не существует при х =3. Итак, функция имеет три критические точки первого рода:

;

. На числовой оси отметим критические точки первого рода, причем точку

отмечаем выколотой точкой, т.к. в ней функция не определена. Расставляем знаки производной

на каждом промежутке:

т.min

т.max

На промежутках, где , исходная функция возрастает (при (-∞;0] ), где - убывает (при [0;3) (3;6]).

Точка х =0 является точкой максимума функции..

Точка х =6 является точкой минимума функции.

6. Найдем вторую производную функции как производную от первой производной: = =

= .

Вынесем в числителе х -3 за скобки и выполним сокращение:

= .

Приведем в числителе подобные слагаемые: .

7. Найдем критические точки второго рода: точки, в которых вторая производная функции равна нулю или не существует.

0, если =0. Данная дробь не может равняться нулю, следовательно, точек, в которых вторая производная функции равна нулю, нет.

не существует, если знаменатель (х -3)³ равен 0, т.е. не существует при х =3.

Итак, функция имеет одну критическую точку второго рода: .

Найдем интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции.

На числовой оси отметим критическую точку второго рода выколотой точкой, т.к. в ней функция не определена.

Расставляем знаки второй производной на каждом промежутке:

На промежутках, где , исходная функция вогнута (при (3;+∞)), где - выпукла (при (-∞;3)).

Точка х =3 не является точкой перегиба графика функции, т.к. в ней исходная функция не определена.

8. Найдем асимптоты графика функции.

8.1. Поскольку область определения функции – все действительные числа за исключением х =3, то проверим, является ли прямая х= 3 вертикальной асимптотой. Для этого вычислим предел функции в точке х= 3: .