Навигация:

Главная Случайная страница Обратная связь ТОП Интересно знать Избранные Новые материалы

Топ:

Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...

Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...

Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...

Интересное:

Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...

Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...

Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...

Дисциплины:

Автоматизация Антропология Археология Архитектура Аудит Биология Бухгалтерия Военная наука Генетика География Геология Демография Журналистика Зоология Иностранные языки Информатика Искусство История Кинематография Компьютеризация Кораблестроение Кулинария Культура Лексикология Лингвистика Литература Логика Маркетинг Математика Машиностроение Медицина Менеджмент Металлургия Метрология Механика Музыкология Науковедение Образование Охрана Труда Педагогика Политология Правоотношение Предпринимательство Приборостроение Программирование Производство Промышленность Психология Радиосвязь Религия Риторика Социология Спорт Стандартизация Статистика Строительство Теология Технологии Торговля Транспорт Фармакология Физика Физиология Философия Финансы Химия Хозяйство Черчение Экология Экономика Электроника Энергетика Юриспунденкция

Геометрический смысл предела функции на бесконечности

2017-11-22

574

0.00 из 5.00 0 оценок

Заказать работу

Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 3Следующая ⇒

Геометрический смысл предела функции на бесконечности заключается в том, что для любого найдется такое число , что для всех , которые принадлежат объединению интервалов: , соответствующие значения функции попадают в – окрестность числа , т.е. точки графика функции при соответствующих значениях лежат в полосе шириной , ограниченной горизонтальными прямыми и .

5.4. Односторонние пределы

Определение 5.5. Число называется левосторонним пределом функции при , стремящимся к , если для любого положительного числа , как бы мало оно ни было, найдется такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенству: , будет справедливо неравенство . Обозначается: .

Определение 5.6. Число называется правосторонним пределом функции при , стремящимся к , если для любого положительного числа , как бы мало оно ни было, найдется такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенству: , будет справедливо неравенство . Обозначается: .

Определение 5.7. Число называется пределом функции при стремящимся к слева, если функции определена на промежутке , и какова бы ни была последовательность , сходящаяся к точке слева, т.е.такая, что для всех натуральных , соответствующая ей последовательность значений функции существует и сходится к числу . Это записывают, как: или .

Определение 5.8. Число называется пределом функции при стремящимся к справа, если функции определена на промежутке , и какова бы ни была последовательность , сходящаяся к точке справа, т.е.такая, что для всех натуральных , соответствующая ей последовательность значений функции существует и сходится к числу . Это записывают, как: или .

Если определена в интервале , то в точке может иметь смысл только число , а в точке – только число .

Отметим, что двусторонний предел существует лишь тогда, когда существуют оба односторонних предела, которые равны друг другу, то есть .

В этом случае

Бесконечно большие функции

Определение 5.9. Функция называется бесконечно большой в точке , если для любой последовательности значений аргумента соответствующая последовательность значений функции является бесконечно большой.

Определение 5.10. Функция называется бесконечно большой в точке , если для любого положительного числа , как бы велико оно ни было, существует такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , справедливо неравенство .

То, что функция является бесконечно большой в точке , соответствует тому, что . Кратко это записывают так: .

5.8. С войства функций, имеющих пределы

Теорема 5.2. Если существует конечный предел , то для всех принадлежащих некоторой окрестности точки функция является ограниченной, т.е. существуют такие положительные числа и , что для всех , удовлетворяющих неравенству , следует, что .

Доказательство. Из условия теоремы следует, что для любого найдется такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , следует . Возьмем . И раскроем последнее неравенство по свойству модуля: .

Или . Отсюда следует, что . Если взять , то получим, что , что и требовалось. Теорема доказана.

Теорема 5.3. Если существует конечный предел , и , то для всех принадлежащих некоторой окрестности точки функция удовлетворяет условию: . Более того, для указанных функция , если , и , если .

Доказательство. Из условия теоремы следует, что для любого (в частности, возьмем ) найдется такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , следует . Раскроем последнее неравенство: , которое выполняется для всех окрестности точки . Получили . Или для указанных . При следует, что и . При следует, что для всех окрестности точки . Тогда, раскрывая модуль в неравенстве , получаем или , что и требовалось доказать.

Теорема 5.4. Еслисуществуют конечные пределы и , и для всех принадлежащих некоторой окрестности точки функции и удовлетворяют неравенству , то .

Доказательство. Пусть последовательность сходится к . Тогда для существует достаточно большой номер , что при всех следует:

, а после предельного перехода в последнем неравенстве, получаем: , что и требовалось.

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒

Поделиться с друзьями:

Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...

Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...

Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...

Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...