Признаки существования предела функции

Не у всякой функции может существовать предел. Практические задачи обычно сводятся к вопросу нахождения конкретного значения предела, а не к вопросу: существует ли предел рассматриваемой функции. Поэтому для исследования вопроса о существовании предела функции применяют специальные признаки.

Теорема 5.4. (о пределе промежуточной функции)

Еслидля функций и существуют одинаковые конечные пределы и , и для всех принадлежащих некоторой окрестности точки функция удовлетворяет неравенству , тогда функция имеет тот же самый конечный предел, что и функции и : .

Доказательство. Пусть последовательность сходится к . Тогда для существует достаточно большой номер , что при всех следует:

, а после предельного перехода в последнем неравенстве, получаем: , что и требовалось.

Теорема 5.5. (критерий Коши существования предела)

Для того чтобы существовал конечный предел , необходимо и достаточно, чтобы функция была определена в окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки , и для всякого сколь угодно малого числа существовала такая –окрестность точки , , что, каковы бы ни были точки и , принадлежащие –окрестность точки , что выполняется неравенство .

Доказательство. Пусть , где – конечное число. Тогда существует окрестность точки , в которой определена функция , за исключением, быть может, самой точки . Кроме того, для любого сколь угодно малого числа существует такая –окрестность точки : , что для всех выполняется неравенство . Тогда для любых точек получим

, следовательно, доказано, что условие теоремы необходимо.

Докажем достаточность теоремы. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки . И пусть для любого существует такая – окрестность , что для любых точек выполняется неравенство: . Возьмем произвольную последовательность , сходящуюся к точке . Тогда, согласно критерию Коши для последовательности, стремящейся к пределу, найдется такое число , что для всех номеров члены последовательности будут принадлежать – окрестности : . Получили, что выполняется неравенство: для всех номеров . Следовательно, последовательность удовлетворяет критерию Коши. Тогда существует для сходящейся к последовательности чисел . Так как последовательность – произвольная, сходящаяся к точке , то все будут равны между собой. В самом деле, пусть и – две различные последовательности, сходящиеся к точке . Тогда существуют числа и , к которым сходятся последовательности и соответственно: и .

Составим новую последовательность: . Она сходится к точке . Тогда соответствующая последовательность должна сходиться к некоторому числу. Но это возможно только, если выполняется условие: . Таким образом, существует . Теорема доказана.

Теорема 5.6. Пусть существуют конечные пределы и , и для всех принадлежащих некоторой окрестности точки определены функции , и при условии, что . Тогда существуют конечные пределы: , и .

5.10. Первый замечательный предел:

Первым замечательным пределом назвали предел равный 1 при от функции . Сама функция не определена при x =0, так как числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль.

Приведем доказательство первого замечательного предела. Функция является четной функцией (ее значения не изменяются при изменении знака ), то достаточно рассмотреть случай, когда ). Рассмотрим окружность радиуса 1 и предположим, что угол , выраженный в радианах, заключен в пределах: . Из определения тригонометрических функций и геометрических соображений имеем (рис. 5.1): AD ОC, BC OC, ОA=OC =1.

Рисунок. 5.1.

Из ОAD находим . Из ОBC находим .

Из сравнения площадей треугольника ОAD, сектора OAC и треугольника

ОBC нарисунке 5.1. видно, что S_ΔOAC <S_сект.OAC <S_ΔOBC.

Площадь треугольника ОAC:

Площадь треугольника ОBC: .

Площадь сектора OAC S_сект.OAC = , т.к. . Подставляем найденные площади в последнее неравенство, получаем

Делим двойное неравенство на : . Все члены неравенства – положительные числа, поэтому можно записать неравенство для обратных величин: . (5.1)

Предел левой части неравенства: .

Предел правой части неравенства: . Тогда по теореме о промежуточной функции получаем, что существует: . Теорема доказана для .

Неравенства (5.1) верны и для , т.к. функции и являются четными. Поэтому доказательство теоремы справедливо и для . Теорема полностью доказана.