Базис. Координаты вектора в данном базисе

И их свойства

 

Множество всех векторов, на котором введена операция сложения векторов, удовлетворяющая свойствам

1⁰. ;

2⁰. ;

3⁰. ;

4⁰. ,

и операция умножения вектора на число, удовлетворяющая свойствам

1⁰. , ;

2⁰. ;

3⁰. ;

4⁰. ,

называется векторным пространством и обозначается через V.

Базисом векторного пространства называется система векторов, заданных в определенном порядке, которая удовлетворяет условиям:

1) система линейно независима;

2) любой вектор пространства является линейной комбинацией данной системы векторов.

Число векторов базиса называется размерностью векторного пространства.

Выяснить, чему равна размерность векторного пространства V, позволяют следующие две теоремы, которые приведем без доказательства:

Теорема 1. Любая система трех некомпланарных векторов, взятых в определенном порядке, образует базис векторного пространства.

А может ли базис пространства V состоять меньше, чем из трех векторов? Больше, чем из трех векторов? Оказывается, нет, так как справедлива

Теорема 2. Любой базис векторного пространства V состоит из трех векторов.

Эти теоремы можно доказать, пользуясь теоремами о коллинеарных и компланарных векторах и свойствами 2⁰ - 7⁰линейно зависимой системы векторов.

Из теорем 1 и 2 следует, что размерность векторного пространства V равна 3, поэтому оно называется трехмерным векторным пространством.

Базис, состоящий из векторов , и , обозначается так: , , или , , . Векторы , , называются базисными векторами: - первый базисный вектор, - второй, - третий.

Пусть - произвольный вектор пространства V, , , - базис векторного пространства V.

Из теоремы 1 следует, что вектор можно разложить по базисным векторам , , , т.е. существуют такие действительные числа , , , что

.

Коэффициенты , , в этом разложении называются координатами вектора в базисе , , : - первая координата, - вторая, - третья.

Обозначают это так: (; ; ) _{, ,} .

Когда ясно, о каком базисе идет речь, пишут так: (; ; ).

Свойства координат векторов

1⁰. Нулевой вектор в любом базисе имеет нулевые координаты: (0;0;0).

□ Разложим по векторам базиса , , :

.

Следовательно, (0;0;0) _{, ,} . ■

2⁰. Если , , - базис пространства V, то (1;0;0), (0;1;0), (0;0;1).

□ (1;0;0);

(0;1;0);

(0;0;1). ■

3⁰. Если (; ; ), в базисе , , , а , то

в базисе , , (координаты линейной комбинации векторов равны линейным комбинациям их соответствующих координат).

□ По определению координат вектора

, .

Тогда , .

Сложим почленно эти равенства и воспользуемся свойствами сложения векторов и умножения вектора на число:

.

По определению координат вектора

. ■

Из свойства 3⁰ получаем следствия:

Следствие 1. Каждая координата суммы (разности) двух векторов равна сумме (разности) соответствующих координат этих векторов.

Следствие 2. При умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число.

□ Чтобы доказать справедливость следствия 1, надо в свойстве 3⁰ взять сначала a=b=1, а затем a=1, b=-1. Для доказательства следствия 2 полагаем b=0. ■

4⁰. Векторы равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты: , , .

5⁰. Пусть (; ; ), , и , i=1, 2, 3. Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны:

|| .

Пусть . Тогда

|| и .

Если же , то

|| , а и - любые.

Частным случаем произвольного базиса является ортонормированный базис. Его удобно использовать при решении метрических задач (т.е. задач, связанных с вычислением длин отрезков (векторов) и величин углов).

Е1

Е3

О

Базис , , называется ортонормированным, если его векторы удовлетворяют двум условиям:

1) ;

Рис. 8

Е2

2) если , , (рис. 8), то углы , и - прямые.

 

Рис. 9

Замечание. Множество всех векторов, параллельных данной плоскости (или лежащих в ней), образует двумерное векторное пространство, т.к. любой его базис состоит из двух неколлинеарных векторов. Поэтому любой вектор этого пространства в таком базисе имеет две, а не три координаты: . Ортонормированный базис выглядит так: , (рис. 9).