Понятие направленного угла между векторами.

Преобразование прямоугольной системы координат

 

 

Понятие направленного угла между векторами вводится на ориентированной плоскости.

Пусть и - ненулевые векторы, заданные в определенном порядке ( - первый вектор, - второй вектор).

Если || , то направленным углом между вектором и вектором называется

величина , если базис , - правый;

величина , если базис , - левый.

Если , то направленный угол между ними считается равным , если , то (рис. 43).

Рис. 43

Направленный угол между вектором и вектором обозначается так:

.

 

 

На чертеже направленный угол между векторами и показывают дугой со стрелкой, идущей от первого вектора ко второму.

Из определения направленного угла между векторами и следует, что он находится в следующих пределах:

.

Рассмотрим две прямоугольные декартовы системы координат и . Пусть М(х;у) в , в . Так как прямоугольная система координат - частный случай аффинной, то можно пользоваться формулами (5) из §12, но коэффициенты , , , уже не могут быть произвольными.

Найдем координаты векторов , в старой системе . Рассмотрим два случая.

1) Базисы , и , одинаково ориентированы (рис. 44).

 

О

О'

Рис. 44

 

Пусть направленный угол . Приведем векторы и к общему началу О (рис. 45).

О

А1

А

В

В1

О'

Рис. 45

a

a

 

 

Прямоугольные треугольники и равны по гипотенузе и острому углу (, ), следовательно, и .

Из находим:

;

.

Следовательно, .

; .

Следовательно, . Тогда формулы (5) примут вид:

;

. (8)

 

Заметим, что определитель матрицы перехода от базиса , к базису ,

.

2) Базисы , и , противоположно ориентированы (рис. 46).

О

О'

Рис. 46

 

 

О

О'

В

В1

А

А1

a

Рис. 47

Пусть . Приведем векторы и к общему началу О (рис. 47).

 

 

Рассуждая аналогично случаю 1), получим:

;

;

; .

Следовательно, ; .

Тогда формулы (5) примут вид:

;

. (9)

Заметим, что определитель матрицы перехода от базиса , к базису , в этом случае

.

Формулы (8) и (9) можно объединить:

, , если базисы , и , одинаково ориентированы, , , если базисы , и , противоположно ориентированы. где

 

.

Частные случаи преобразования

Прямоугольной системы координат

1. Перенос начала: , .

.

2. Поворот координатных векторов на угол a: , .

 

Полярные координаты

 

 

Если указано правило, по которому положение точек плоскости можно определить с помощью упорядоченных пар действительных чисел, то говорят, что на плоскости задана система координат. Кроме аффинной системы координат, которая была рассмотрена в §10, в математике часто применяют полярную систему координат на плоскости.

Система полярных координат вводится на ориентированной плоскости.

Пара, состоящая из точки О и единичного вектора , называется полярной системой координат и обозначается или . Направленная прямая называется полярной осью, точка О - полюсом (рис. 49).

 

 

Р

Рис. 49

О

Пусть М – произвольная точка плоскости. Расстояние от точки О до точки М называется полярным радиусом точки М.

.

Таким образом, . Если М совпадает с О, то . Для любой точки М ее полярный радиус

 

О

Р

Рис. 50

М

j

Направленный угол называется полярным углом точки М (рис. 50).

.

Если М совпадает с полюсом О, то j - неопределенный. Из определения направленного угла между векторами (см. §13) следует, что полярный угол

 

Рис. 51

О

Р

С

А

В

Полярный радиус r и полярный угол j называются полярными координатами точки М.

На рис. 51 построены точки , , по их полярным координатам.

О

Р

Рис. 52

М

j

М1

 

 

Выведем формулы перехода от полярных координат к прямоугольным декартовым и обратно.

Пусть - полярная система координат на ориентированной плоскости, , в . Присоединим к полярной системе единичный вектор , ортогональный вектору так, чтобы базис , был правым (рис. 52).

, .

Пусть М(х;у) в . Тогда ; (рис. 52).

Получили формулы перехода от полярных координат к прямоугольным:

 

Возведем обе части этих равенств в квадрат и сложим:

, откуда (корень берется со знаком «+», т.к. ). Þ Þ ; .

, , .

Получили формулы перехода от прямоугольных декартовых координат к полярным:

 

О

a

О

в

Рис. 53

Замечание. При решении задач на переход от прямоугольных декартовых координат к полярным недостаточно найти только или только , т.к. по одной тригонометрической функции определить полярный угол однозначно невозможно: в промежутке существуют два угла с одинаковыми косинусами (два угла с одинаковыми синусами) (рис. 53). Поэтому правильно найти полярный угол j вы сможете, только если одновременно вычислите и .

 

Прямая линия на плоскости