Пересечение поверхностей с плоскостью

При пересечении поверхности какого-либо геометрического объекта плоскостью получается плоская фигура, которую называют сечением.

Сечение поверхности плоскостью в общем случае представляет собой кривую, принадлежащую секущей плоскости. Если пересекается многогранник, что мы уже рассмотрели ранее, то в сечении получается замкнутый многоугольник, стороны которого отрезки прямых.

Определение проекций линии сечения следует начинать с построения опорных точек - точек расположенных на очерковых образующих (точек видимости), экстремальных точек (максимально и минимально удаленных от плоскостей проекций). После этого определяют произвольные точки линии сечения.

Если произвольные точки определяются с помощью одного и того же приема, то для нахождения опорных точек, как правило, приходится пользоваться различными способами.

Рассмотрим некоторые примеры.

Пример1. Построить проекции сечения поверхности вращения плоскостью S, перпендикулярной П₂ (рис.11.1).

Построение проекций плоской фигуры, получающейся в сечении, является в данном случае не сложным, так как одна из ее проекций вырождается в отрезок прямой линии (А₂В₂ на П₂), которая совпадает с соответствующей проекцией секущей плоскости (S₂). Задача сводится таким образом, к построению другой проекции этой фигуры на П₁.

Рис.11.1

Построение проекции начнем с построения опорных точек. Такими точками являются точки, расположенные на очерковых образующих. На П₂ они обозначены проекциями А₂,В₂. Так как они находятся на главном меридиане, их проекции легко находятся на П₁ с помощью линий связи. Опорными точками являются также точки 2,2¢, которые являются экстремальными точками, так как одна из них самая близкая, а другая самая удаленная (эти точки концы малой оси эллипса, который получится при пересечении данной поверхности вращения плоскостью). На П₂ обозначим их проекции 2_2, 2₂¢ на середине отрезка А₂В₂, являющегося натуральной величиной большой оси эллипса. На П₁ проекции 2₁,2₁¢ находим с помощью параллели h, которая получается при пересечении заданной поверхности плоскостью уровня Г, проведенной через точки 2,2¢. На П₂ половина отрезка проекции параллели h₂ является ее радиусом R. На П₁ данным радиусом строим проекцию параллели h₁, на которой получаем проекции 2₁,2₁¢. Произвольные проекции точек 1,1¢ и 3,3¢ также находим с помощью соответствующих параллелей h¢ и h¢¢, их проекций. Полученные на П₁ проекции А₁, 3₁, 2₁,1₁,В₁,1¢₁,2¢₁,3¢₁ соединяем плавной кривой. Таким образом будет построена горизонтальная проекция искомого сечения.

Пример 2. Построить проекции сечения поверхности Ф прямого конуса вращения плоскостью общего положения q, заданной на П₁ и П₂ соответственно следами h₀ и f₀. Построить также натуру сечения (рис. 11.2).

Чтобы упростить решение задачи, осуществим замену плоскости П₂ новой плоскостью П₄. Плоскость П₄ выберем так, чтобы по отношению к ней секущая плоскость q заняла проецирующее положение. Спроецируем на плоскость П₄ коническую поверхность Ф. Выполненные преобразования позволили свести решение к случаю рассмотренному в примере 1 (рис.11.1).

Для построения фронтальной проекции эллипса сечения на рис. 11.2, кроме точек А,В, и С,Д, на вспомогательной проекции взяты точки Е,F и M,N. Горизонтальные и фронтальные проекции этих точек определены с помощью горизонталей h¢¢ и h¢¢¢. Кроме опорных точек А и В, являющихся высшей (В) и низшей (А) точками сечения, на рисунке показаны точки Р и L, принадлежащие фронтальным проекциям очерковых образующих конической поверхности Ф. Эти точки служат границей видимости для фронтальной проекции сечения. Для нахождения точек Р₂ и L₂ пользуемся фронталью f.

Для определения натуральной величины сечения также используем способ замены плоскостей проекций. Заменим П₁ на П₅ таким образом, чтобы секущая плоскость q в системе П₄ - П₅ заняла положение плоскости уровня (х₂||q₄). В соответствующем положении окажется и сечение, а его проекция на П₅ и есть натуральная величина.