Простые и составные высказывания

Определение 3.1. Высказывание называется составным, если оно может быть представлено в виде комбинации нескольких высказываний, соединенных между собой логическими союзами. В противном случае высказывание называется простым.

Замечание. Пусть А – некоторое простое высказывание. Тогда высказывание ⅂А («не-А», «неверно, что А») по определению считается составным.

Замечание. Из определения 3.1 ясно, что каждое составное высказывание представляет собой комбинацию простых высказываний, соединенных между собой логическими союзами.

Приведем несколько примеров перевода составных высказываний с естественного языка на язык логики (результатом такого перевода, как у же говорилось, является логическая формула, своего рода «скелет» высказывания).

Пример 1.

«Если молоко не прокисло, я выпью стакан молока; в противном случае мне придется пить томатный сок или воду.» (3.1)

Перевод на язык логики высказывания (3.1):

(М → Я) → (⅂М → (Т⋁В)). (3.1’)

Здесь

М: «Молоко не прокисло»,

Я: «Я выпью стакан молока»,

Т: «Мне придется пить томатный сок»,

В: «Мне придется пить воду».

Замечание. В (3.1’) скобки указывают на последовательность логических операций, однако при обозначении операции отрицания мы обошлись без скобок, т.к. считаем, что оператор ⅂ всегда действует первым на ближайшее справа высказывание. Сделанное замечание относится также ко всему дальнейшему изложению.

Пример 2.

«Я сдам экзамен по математике в том и только том случае, если высплюсь; но выспаться мне удастся, только если я выключу компьютер в 9 часов вечера.» (3.2)

Перевод на язык логики высказывания (3.2):

(Я ↔ В) ⋀ (В → К). (3.2’)

(Мы предоставляем читателю возможность самостоятельно определить, какие простые высказывания обозначены в (3.2’) заглавными буквами В, К, Я.

Пример 3.

«Маша и Петя – друзья, при этом они еще и соседи.» (3.3)

Перевод на язык логики высказывания (3.3):

Д ⋀ С (3.3’)

Здесь

Д: «Маша и Петя – друзья»,

С: «Маша и Петя – соседи».

Заметим, что оба высказывания Д и С – простые (а не составные, невзирая на наличие в них союза «и»). Дело в том, что, например, предложение «Петя – сосед» не имеет смысла без указания на то, чей он сосед.

Пример 4.

«Завтра Ваня пойдет либо в театр, либо в музей.» (3.4)

Перевод на язык логики высказывания (3.4):

Т⩒М (3.4’)

Заметим, что можно обойтись обычной дизъюнкцией, но тогда соответствующая логическая формула становится более громоздкой:

(Т ⋀ ⅂М) ⋁ (⅂Т ⋀ М) (3.4”)

Здесь

Т: «Завтра Ваня пойдет в театр»,

М: «Завтра Ваня пойдет в музей».

 

Таблицы истинности для логических операций. Конъюнкция, дизъюнкция, отрицание

Конъюнкция

А	В	А⋀В
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	Л

Итак, если хотя бы одно из двух высказываний А, В ложно, то их конъюнкция ложна. Если же оба высказывания А, В истинны, то истинна и их конъюнкция. Такое определение вполне соответствует употреблению союза «и» в естественном языке.

Дизъюнкция

А	В	А⋁В
И	И	И
И	Л	И
Л	И	И
Л	Л	Л

Представленная таблица истинности для дизъюнкции также превосходно согласуется с употреблением в естественном языке неразделительного союза «или».

:

Отрицание

А	⅂А
И	Л
Л	И

Итак, при любых обстоятельствах исходное высказывание А и его отрицание ⅂А должны иметь противоположные значения истинности. Приведем пример, поясняющий сказанное.

Пример.

А: «Петя кушает кашу».

Возможные способы отрицания:

а) Универсальный способ, всегда приводящий к правильному результату:

⅂А: «Неверно, что Петя кушает кашу»

б) Постановка частицы «не» перед сказуемым (этот способ не всегда приводит к правильному результату):

⅂А: «Петя не кушает кашу»

Замечание. Попробуем в предыдущем примере поставить частицу «не» иначе, чем это сделано в пункте б) (т.е. не перед сказуемым). Например,

В: «Петя кушает не кашу»

Высказывание В не является отрицанием для А, так как в принципе возможна ситуация, когда “ Петя ничего не кушает ”; в этом случае, очевидно

А = В = Л,

тем самым В ⅂А.

Замечание. Покажем, что постановка частицы «не» перед сказуемым не всегда приводит к правильной формулировке отрицания.

Рассмотрим высказывание:

С: «Некоторые люди боятся мышей»

С’: «Некоторые люди не боятся мышей»

Итак, мы поставили частицу «не» перед сказуемым, но очевидно, что

C’ ⅂C.

В дальнейшем мы более подробно обсудим возникшую здесь ситуацию.