Проверка правильности формы умозаключения на диаграммах Эйлера – Венна

Наконец мы подошли к самому важному и полезному пункту нашего изложения.

Определение 17.1. Умозаключение (рассуждение) – это логическое действие, позволяющее получать новое знание из уже имеющегося.

Фактически, умозаключение представляет собой импликацию вида

А₁⋀ А₂⋀ … ⋀А_n →В, (17.1)

где А₁, А₂, …,А_n - связанные между собой по смыслу высказывания, называемые посылками, а В – высказывание, называемое выводом.

Определение 17.2. Говорят, что умозаключение обладает правильной формой, если при любых предположениях об объемах понятий, используемых в посылках, из истинности посылок следует истинность вывода.

Пример1 (иллюстрация к закону контрапозиции для предикатов).

Если лягушка квакает, то она довольна собой

Если лягушка недовольна собой, то она не квакает (17.2)

В этом примере у нас имеется одна-единственная посылка: «Если лягушка квакает, то она довольна собой».

“На языке предикатов и кванторов” умозаключение (17.2) запишется в виде

[ K(x) →Д(x)] →[ ⅂Д(x) →⅂K(x)]. (17.2’)

Здесь L – множество лягушек, K(x) – «лягушка х квакает», Д(x) – «лягушка х довольна собой». Истинность посылки, очевидно, означает, что для множеств истинности предикатов K(x) и Д(x) должно быть выполнено включение

K_и Д_и

(см. по этому поводу также п.7). Однако из этого включения немедленно следует “обратное” включение для дополнений к соответствующим множествам истинности:

(Д_и)’ (K_и)’,

откуда, в свою очередь, следует истинность вывода в (17.2) (см. рис. 17.1).

Замечание. Умозаключение (17.2), очевидно, можно было бы переписать также “на языке множеств”:

K_и Д_и (17.2”)

(Д_и)’ (K_и)’

Пример 2.

Некоторые розы – красные

Ни одна собака не красная

Ни один фокстерьер не красный (17.3)

Фокстерьеры – это собаки

 

Мы предоставляем читателю возможность переписать (17.3) «на языке предикатов и кванторов», а вместо этого запишем это умозаключение сразу в менее громоздком виде «на языке множеств»:

P_и К_и

С_и (K_и)’

Ф_и (K_и)’

Ф_и C_и (17.3’)

Здесь Р_и - множество роз (т.е. множество истинности предиката «х – роза»);

К_и - множество красных объектов (т.е. множество истинности предиката «х – красный»);

С_и - множество собак (т.е. множество истинности предиката «х – собака»);

Ф_и - множество фокстерьеров (т.е множество истинности предиката «х – фокстерьер»).

Все посылки нашего умозаключения (17.3), а также его вывод – истинны. Но правильна ли форма этого умозаключения? Для того чтобы получить ответ на этот вопрос, посмотрим на рис. 17.2.

Мы видим, что все требования, которые обеспечивают истинность посылок в (17.3’), соблюдены на рис. 17.2, но ожидаемого вывода мы не получили. Это как раз и означает, что форма нашего умозаключения – неправильная.

Пример 3.

Ни одна кукушка не умеет читать

Некоторые утки умеют плавать

Некоторые утки – не кукушки (17.4)

Сразу же перепишем умозаключение (17.4) «на языке множеств»:

К_и (Ч_и)’

У_и П_и

У_и (К_и)’ (17.4’)

Здесь К_и – множество кукушек; Ч_и – множество существ, умеющих читать;

У_и – множество уток; П_и – множество существ, умеющих плавать.

Снова посылки и вывод – истинные высказывания, но, как видно из рис. 17.3, истинность посылок не обеспечивает истинность вывода. Поэтому форма умозаключения (17.4) – неправильная.

 

Приложение. Двенадцать иллюстраций