Угол между двумя прямыми и условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Расстояние от точки до прямой.

Расстояние от точки до прямой — равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Если задано уравнение прямой на плоскости Ax + By + C = 0, то расстояние от точки M(M_x, M_y) до прямой можно найти используя следующую формулу

d=	|A·Mx + B·My + C|
(A2 + B2)1/2

Уравнение линий в пространстве. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе координат удовлетворяют уравнению:

F(x, y, z) = 0.

Это уравнение называется уравнением линии в пространстве.

 

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , называемому нормалью к плоскости. Для любой точки плоскости вектор ортогонален (перпендикулярен) вектору , следовательно, их скалярное произведение равно нулю:

 

или .

Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

После преобразования, уравнение

	можно записать в виде , приняв , получаем общее уравнение плоскости .
	Пусть плоскость проходит через точки и , не лежащие на одной прямой и – произвольная точка плоскости. Тогда векторы , , компланарны. Следовательно, их смешанное произведение равно нулю. Используя координатную запись смешанного произведения, получаем:

Уравнение плоскости в отрезках. Нормальное уравнение плоскости.

Уравнение плоскости в отрезках

Если же общее уравнение плоскости является полным

(т.е. ни один из коэффициентов не равен нулю), то его можно преобразовать к виду, называемому уравнением плоскости в отрезках

,

 

равны величинам отрез­­ков, отсекаемых плоскостью на координатных осях.

Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

Уравнения прямой в пространстве: векторное уравнение прямой, параметрическое уравнение.

Положение прямой в пространстве вполне определяется заданием какой-либо её фиксированной точки М ₁ и вектора , параллельного этой прямой.

Вектор , параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Итак, пусть прямая l проходит через точку М ₁(x ₁, y ₁, z ₁), лежащую на прямой параллельно вектору .

Рассмотрим произвольную точку М(x,y,z) на прямой. Из рисунка видно, что .

Векторы и коллинеарны, поэтому найдётся такое число t, что , где множитель t может принимать любое числовое значение в зависимости от положения точки M на прямой. Множитель t называется параметром. Обозначив радиус-векторы точек М ₁ и М соответственно через и , получаем . Это уравнение называется векторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра t соответствует радиус-вектор некоторой точки М, лежащей на прямой.