Матрица – столбец – состоит из одного

столбца и m строк, размера (m * 1):

4. Квадратная матрица порядка n - это матрица, у

которой число строк равняется числу столбцов m=n.

Количество строк и столбцов определяет порядок матрицы.

2 -5 7

А = 3 -4 1

1 2 -3

Среди квадратных матриц можно выделить следующие:

4.1 Верхняя и нижняя треугольные матрицы: В верхней

треугольной матрице все алименты, стоящие ниже главной

диагонали, равны нулю, а в нижней треугольной матрице

все элементы, стоящие выше главной диагонали, равны

нулю. Транспонирование верхнее треугольной матрицы

дает нижнюю треугольную матрицу и наоборот.

3 -5 4 2 0 0

0 4 -1 8 -5 0

0 0 2 4 6 3

4.2 Диагональная и скалярная матрицы: В диагональной

матрице ненулевыми являются только элементы, стоящие

на главной диагонали, а в скалярной матрице все эти

элементы должны быть одинаковыми. Определитель

диагональной и скалярной матриц равны произведению

диагональных элементов.

2 0 0 5 0 0

0 -1 0 0 5 0

0 0 6 0 0 5

4.3 Единичная матрица – это такая матрица, у которой

диагональные элементы равны единице, а остальные

элементы равны нулю. Определитель единичной матрицы

равен единице. Обозначается заглавной буквой Е.

1 0 1

Е = 0 1 0

0 0 1

Действия над матрицами:

Над матрицами можно выполнять как

линейные, так и нелинейные операции.

К линейным операциям над матрицами

относятся: сложение (вычитание) матриц,

умножение матрицы на число, линейная

комбинация матриц. Нелинейные операции

– произведение матриц, возведение матрицы

в целую степень.

Линейные операции над матрицами:

1.Сложение (вычитание) матриц – для того,

чтобы сложить (вычесть) две матрицы, нужно

сложить (вычесть) их соответствующие элементы

(т. е. элементы, стоящие на одинаковых

местах в обеих матрицах).

4 -7 5 1 -4 8 5 -11 13

А + В = 2 0 -3 + 12 -5 0 = 14 -5 -3

2.Умножение матрицы на число – для того, чтобы

умножить (разделить) матрицу на отличное от нуля

число, нужно умножить (разделить) на это

число все элементы этой матрицы.

4 -1 -20 5

-5 * А = -5 * 5 2 = -25 -10

3 -7 -15 35

Линейная комбинация матриц – матрица С

называется линейной комбинацией матриц А и В,

если выполняется равенство: С = А+ В, где

и - коэффициенты линейной комбинации.

-2 5 8 3 -42 13

С = 5В – 4А = 5 * 6 -7 - 4 * -1 -6 = 34 -11

1 -2 0 -11 5 34

Нелинейные операции над матрицами:

1.Произведение матриц – для того чтобы умножить

матрицу на число, необходимо все элементы

матрицы умножить на это число.

2.Возведение матрицы в целую степень –

при возведении матрицы в степень мы умножаем

ее саму на себя нужное число раз.. А = А * А

А = А * А * А = А * А = А * А

Определители и их свойства.

Определителем или детерминантом квадратной

матрицы порядка называется число, вычисляемое

из элементов этой матрицы по определенному

правилу. Обозначается А. Минором элемента aij,

матрицы порядка n называется определитель

порядка (n-1), полученный из элементов матрицы

после вычеркивания из нее строки с номером i и

столбца с номером j, на пересечении которых

стоит этот элемент.Минор обозначается символом

Mij. Например, в матрице:

А11 а12 а13 4 -5 3

А = а21 а22 а23 = 2 0 -1

А31 а32 а33 -4 7 12

минор элемента а23 получается при вычеркивании

из матрицы А 2-ой строки и 3-его столбца,

оставшиеся элементы являются определителем 2-ого порядка

А11 а12 4 -5

М23 = а31 а32 = -4 7

Минор элемента 31

А12 а13 -5 3

М31 = а22 а23 = 0 -1

В этом случае определитель 3-его порядка

имеет 9 миноров 2-ого порядка.

Алгебраическим дополнением элемента aij

матрицы А порядка n называется минор

этого элемента Mij, взятой со знаком (-1):

Aij = (-1) * Mij. Если сумма номеров

строки и столбца данного элемента четная,

то алгебраическое дополнение и минор

элемента совпадают, а если эта сумма

нечетная, то алгебраическое дополнение и

минор имеют одинаковую величину, но

разные знаки. Например, для

рассматриваемой матрицы:

4 -5

А23 = (-1) М23 = -4 7

-5 3

А31 = (-1) М31 = 0 -1

Свойства определителей:

1.Определитель матрицы не изменяется при

ее транспонировании. Транспонирование –

перемена ролями строк и столбцов матрицы.

2.Если переставить в определители матрицы

два параллельных ряда, то определитель

сменит знак на противоположный.

3.Определитель матрицы равен нулю,

если все элементы какого-либо ряда равны нулю.

4. Определитель матрицы равен нулю, если

матрица содержит два одинаковых ряда.

5. Определитель матрицы равен нулю, если в

матрице есть ряд, элементы которого

представляют собой линейную комбинацию

соответствующих элементов других рядов.

6. Множитель, общий элементам какого-либо

ряда, можно вынести за знак определителя или

наоборот, чтобы умножить определитель на

число, нужно умножить на это число элементы

одного из рядов определителя.

7. Основное правило вычисления определителей

– Правило Разложения. Определитель квадратной

матрицы равен сумме произведений элементов

какой-либо строки (столбца) матрицы на

соответствующие им алгебраические дополнения.

8. Сумма произведений элементов какой-либо

строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения

элементов другой строки (столбца) равна нулю.

Вычисление определителей:

1.Определитель матрицы 1-огопорядка равен

самому элементу этой матрицы.. А = | a11 | = a11

2.Определитель матрицы 2-ого порядка равен

разности произведений элементов главной и побочной диагоналей.

A11 a12

A = a21 a22 = a11 * a22 – a12 * a21