Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли.

(a1a2 – b1b2; a1b2 + b1a2). Свойства комплексных чисел:

1. Закон коммутативности z1 + z2 = z2 + z1; z1z2 = z2z1

Векторы. Действия над векторами.

Вектором называется направленный отрезок.

Пусть А - начало вектора, а В – его конец, тогда

сам вектор обозначается АВ. Расстояние между

началом и концом вектора называется длиной лил

модулем вектора и обозначается |АВ|.0 – вектор

нулевой длины. Свободные векторы – векторы, для

которых точка начала не имеет значения, важны лишь

его длина и направление. Обозначаются маленькой

строчной буквой a, b и т. д. следовательно длина

свободного вектора обозначается |a|. Векторы называются:

Коллинеарными, если они лежат на одной или

параллельных прямых. Обозначаются a || b.

Противоположными, если они коллинеарны,

имеют одинаковую длину, но направлены в

противоположные стороны. Вектор противоположный

вектору a, обозначается (-а).

Компланарными, если они лежат в одной или

параллельных плоскостях.

Равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую

длину и направлены в одну сторону.

Действия над векторами.

Вектора можно складывать, вычитать и умножать на число.

1.Сложение двух векторов можно проводить

геометрически двумя способами. Правило треугольника:

совместить путем параллельного переноса начало второго

вектора с концом первого. Суммой этих векторов будет

вектор, идущий из начала первого в конец второго, этот

вектор замыкая ломаную из двух векторов образует треугольник.

Правило параллелограмма: Путем параллельного переноса

совмещаем начала обеих векторов, строим на этих векторах

параллелограмм. Тогда вектор диагонали этого параллелограмма,

идущий из их общего начала, будет суммой векторов.

2. Вычитание двух векторов.

3. Умножение вектора на число: результатом умножения

вектора на число является вектор длина которого равна

произведению длины вектора на модуль вектора: | a | = | | | a |.

Направление вектора не меняется, если число положительно

и меняется на противоположное, если число отрицательное.

11. Скалярное произведение векторов.

Определение 1: Скалярным произведением двух

ненулевых векторов называется число, равное

произведению модулей векторов – сомножителей

на косинус угла между ними:

(a, b) = a * b = | a | * | b | cos

Определение 2: скалярное произведение двух

векторов равно модулю одного из них, умноженному

на проекцию второго вектора на первый:

(a, b) = | a | * npab = | b | * npba

Свойства скалярного произведения:

1. (a, b) = (b, a)

2. (a, b + c) = (a, b) + (a,c)

3. (a, b) = (a, b)

4. a * a = a = | a |

Скалярное произведение в координатной форме:

1.| a | = x1 + e1 + z1

(a, b) x1x2 + y1y2 + z1z2

2. cos | a | *| b | x1 + y1 + z1 * x2 + y2 + z2

(a, b) x1x2 + y1y2 + z1z2