Теорема об изменении момента импульса механической системы.

Воспол теоремой об измен физических величин в механич системе получим: умножим первое уравнение слева векторно на а второе уравнение слева векторно умножим на и в результате получим: ; ; ; ; ; ; тогда изменение момента импульса механич системы в единицу времени обусловлено действием момента внешних сил. Следствие 1: если отсутствует действие внешних сил: – закон сохранения момента импульса механич системы. Следствие 2: если параллельны , тогда момент силы равен нулю:

 

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы.

умножим первое уравнение на а второе на и в результате получим: ; ; T=T₁+T₂-кинетическая энергия механической системы. - теорема об изменении кинетической энергии. Изменение кинетичекой энергии в единицу времени механической системы обусловлено работой совершающей в единицу времени внешними и внутренними силами. T₁+T₂)= ; ; воспользуемся тем фактом,что силовые поля являя потенциальными полями, это значит что для всех полей выполн след соотнош: ; ; ; ( = , -где - энергия взаимодействия механической системы с внешним полем где ; ; ; ; где - потенциальная энергия взаимод двух точек; - потенциальная энергия системы взаимод с внешним полем. ; W-полная энергия. W=T₁+T₂+T₃+ ; W= ; W=T+ ; - закон сохранения энергии. Следствие 1: если внешнее поле отсутствует, то полная энергия будет состоять из: W=T+ , при Следствие 2: если центр масс выразить через радиус:

; ; ; W= - полная энергия механической системы. - кинетическая энергия механической системы, как целая, когда определяется движение центра масс механической системы.; - приведенная масса. Кинетическая энергия механической системы, как материальная точка с приведенной массой и относительной скоростью - потенциальная энергия.

Вопрос

Будем рассматривать движение маятника при условии, что угол отклонения мал, тогда, если измерять угол в радианах, справедливо утверждение: На тело действуют сила тяжести и сила натяжения нити. Равнодействующая этих сил имеет две составляющие: тангенциальную, меняющую ускорение по величине, и нормальную, меняющую ускорение по направлению (центростремительное ускорение, тело движется по дуге).Т.к. угол мал, то тангенциальная составляющая равна проекции силы тяжести на касательную к траектории: Угол в радианах равен отношению длины дуги к радиусу (длине нити), а длина дуги приблизительно равна смещению (x»s): Сравним полученное уравнение с уравнением колебательного движени

Аналогичные вычисления можно проделать с помощью закона сохранения энергии. Учтем, что потенциальная энергия тела в поле тяготения равна а полная механическая энергия равна максимальной потенциальной или кинетической: Запишем закон сохранения энергии и возьмем производную от левой и правой частей уравнения: Т.к. производная от постоянной величины равна нулю, то Производная суммы равна сумме производных:

Следовательно

12. Описание упругих колебаний материальной точки на основании 2-го закона Ньютона и закона сохранения энергии. ; ; механ.Ньютона ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; . ; ; ; ; -полная энергия; = - уравнение движения; ; ; y= dy=dz; ; C =-2 ; ; ; ;

13.Связи. Уравнения связей. -уравнение связи; Связь – это совокупность тел огранич.движение определенного тела. Связи кот. огранич.движение тел описываются аналитическими ур-ями кот. наз. ур-ями связи. Рассмотрим движ. Одной мат.т.движ. кот.ограничена связеми. f( =0; где t-время, ( =0, ( =0, ( =0, ( =0; f(x)=0, f(x)=x-l; уравнение плоскости является связью -функции связи

Для круга

Каждая определенная связь ограниченная движением мат.точки уменьшает число степеней свободы. стационарные связи – это такие связи ф-ии кот. явно не зависят от времени, в противном случае если ф-ии зависят от времени то она стационарная. В механ.использ. голономные и неголономные связи. Голономн. наз.связи кот. можно определить аналитич.ур-ями и эти ур-ия описываются опред. ур-ями поверхностей в противном случае связь явл. неголономной. силы кот.обусловленны действия связи наз. пассивными или реактивными силими. Активными наз.силы кот вызывают ускорение мат. точек. Если мат.система состоит из N мат.точек 3N-P= r; Определение числа механ.системы с учетом связи огранич.движ.мех.системы. Виды перемещений: Действительные перемещения-это перемещение мат.точки под действием активных и пассивных сил. Возможные- это перемещ.кот.огран.связями действующ.на мат. точку или тело. Виртуальные – это вооброжаемые перемещ. кот. обусловл.действием активных и пассивных сил.

14.Элементы дифференцирования и варьирования в теоретической мех. ; dz=vdt; z=z(t); ; Если в данный фиксированный момент времени переход от одной траектории к другой: то эта операция перехода от одной траектории к другой близко расположенной относительно основной траектории наз. варьированием. -варьирование преременных. С помощью операции варьирования определяется виртуальное варьирование. Если речь идет о вычислении вариации ф-ии зависящей от вариации ; ; ; ( =0, ; ( = ; ( = ; ; = ; =

15. Метод неопределенных множителей Лагранжа. Рассм. Мех. состоящую из N мат.т.на это на мех.систему наложено p связей(идеальных). r=3N-p Связи описываются ур-ями связи ; все связи идеальны . Вычислим вариации ф-ции : ; умножим ур-ние на и сложим все ур-ия: ; ; Если бы число степеней свободы мех. системы 3N то каждая было бы независимым и тогда выражение в квадратных скобках можно было бы прировнять к нулю, но число степеней свободы меньше 3N и равно 3N-p где р – число ур-ний связи.поэтому мы такого утверждения сделать не можем т.к. неопределенные множители то мы подберем их таким образом что бы в каждом слогаемым выражение в квадратных скобках=0; из явного вида ф-лы связь реакции связи с ур-ями (функциями связи). ; - ур-ние Лагранжа 1-го рода.

16. Ур-е Лагранжа 1-го рода.

Рассм. мех.сис-му, состоящ. из N материальн.точек. На эту мех.сис-му наложено р-связей идеальных. Число степеней свободы r = 3N-p.

(8.1) a=1,2…p.

Вычислим теперь вариацию функций ур-я (8.1):

d

Умножим теперь кажд.ур-е (8.3) на множитель и сложим эти ур-я,тогда получ.:

Если бы число степеней свободы мех.сис-мы было 3N, то каждая d было бы независ. и тогда выраж-е в [ ] скобках можно было бы приравнять к 0, но число степеней свободы меньше 3N и равно 3N-p, где р- число ур-й связи, поэтому такого утверждения мы сделать не можем, однако, поскольку неопред.множители, то мы подберем их т.образом, чтобы в каждом слагаемом (8.5) выр-е в [ ] равнялись нулю. След-но из нашего утверждения следует, что

Из явного вида ф-лы (8.6) следует связь реакции связи с ур-ями (ф-циями) связи

ур-е Д*аламбера.

Если учтем ур-е (8.6), то получ.

Это и есть ур-е Лагранжа 1-го рода.

 

Общее ур-е механики.

реакция связи, наз.идеальной для одной матер.точки,если выполн.ур-е:

(

Принцип Д*аламбера:

При движ-ии матер.точки сил действующих на матер.точку =0

= -m

Если ур-е (7.9) скалярно умножим на d , то ( =0 (7.10), это ур-е наз.общим ур-ем механики для одной матер.точки.

Для сис-мы состоящ.из n матер.точек принцип Д*аламбера будет записан так:

n=1,2…

Если умножим (7.11) скалярно на d , а затем проссумируем.то получим:

Если связь идеальна, то это ур-е запиш. В виде:

 

Общее ур-е механики