На основании ур-я Лагранжа-Эйлера получить ур-я колебаний метем. маятника и колеб. точки под упругой силы.

Ур-е связи.

Ур-е Лагранжа

Лагранжев формализм:

ёёё

23.Уравнение Лагранжа -Эйлера для системы с многими степенями свободы.
Пусть мех.сис-ма опр-ся коор-ми q1,q2..qr,где r-число степеней свободы {qα},α=1,2..r.Обоб. скорости { .Тогда ф.Лагранжа для мех. сис. с r степ. свободы L=L{qα, С помощью прин-ципа наименьшего принципа найдём уравнение движения S= δS=0 δS= = + =

Δqαdt=0 В рез.пол.

24.Обобщенные координаты, скорости и импульса. Циклические координаты. Законы сохранения обобщенных импульсов.
В формализме Лагранжа обоб.имп. мех. сис. Пα=

Опр. Цикл.коор-т

Обоб.коор-ты qβназ.цикл.,если ф-ия Лагранжа явно не зависит от этих корт,т.е

,тогда каждой цикл.коор-те соот-ет сохр-ся обоб.импульс

(вып.закон сохр.обоб.импульсов)

25.0писание движения материальной точки в потенциальном сферически­симметричном поле в полярных координатах в формализме Лагранжа.
L= -U(r)В данном случае мат.точка имеет 2 степ.свободы,этим степ. Свободы соот. 2 обоб.коор-ты r, и 2 обоб. скорости => движ.мат.точки будет опр-ся 2 обоб. имп. Пr= Пφ= Ф. Лагранжа не зав. от φ

Пφ= -момент импулься точки дви-ся в пл.орбиты.

26. Функция Гамильтона. Привести примеры на определение функции Гамильтона.
Пα= -обоб.импульс. Опр-м энергию мех.сис-мы.Если мех.сис-ма опр-ся ур-ем Лагранжа,кот.я вно не зав. от времени,то говорят,что мех сис.стационарна,а если явно зав.то не стационарна,т.е.

R(qα, α,t) =

+ = +

( + =

+ α

α- L(qα, α,t)]=- Из ур.следует,что если мех.сис-ма стац-на,то

и вел. H(qα,

= α-L явл. Сохр-ся вел.т.е явл. Инте-ом движения.

И это есть ф.Гамильтона

Физ.смысл: Расс.движ. точки в центр-ом поле L=T-U= x,y,z-обоб.коор-ты L(x,y,z+ явно от времени не зав.

H=Пх +Пу +Пz

- или H= + U(r)Пример:Движ.мат. точки с сфер.-сим. Поле в полярной СК

L(r,φ, = ( -U(r)

Пr=

Пφ= -обоб.импульс

H(r, φ, +U(r)= =H

Решение задачи Кеплера в формализме Лагранжа.

Кинетическая энергия в центрально-симметричном поле:

Потенциальная энергия:

M-масса солнца, m-масса планеты.

В этом случае система имеет 2 степени свободы:

Уравнения Лагранжа-Эйлера будут:

тогда:

Т. к.

то уравнение Лагранжа-Эйлера явно не зависит от , то - циклическая величина.

Пусть

Перепишем (1) с учетом введенных констант:

r=r(φ)

Каким расст. от силового центра в зав. от φ:

Общее решение:

Законы Кеплера.

Первый закон Кеплера (закон эллипсов). Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением , где c — расстояние от центра эллипса до его фокуса (половина межфокусного расстояния), a — большая полуось. Величина e называется эксцентриситетом эллипса. При c = 0 и e = 0 эллипс превращается в окружность. Второй закон Кеплера (закон площадей).Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные времена радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает равные площади. Третий закон Кеплера (гармонический закон) Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся, как кубы больших полуосей орбит планет. Справедливо не только для планет, но и для их спутников.

, где T ₁ и T ₂ — периоды обращения двух планет вокруг Солнца, а a ₁ и a ₂ — длины больших полуосей их орбит.Ньютон установил, что гравитационное притяжение планеты определенной массы зависит только от расстояния до неё, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Он показал также, что третий закон Кеплера не совсем точен — в действительности в него входит и масса планеты: , где M — масса Солнца, а m ₁ и m ₂ — массы планет.