Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины по критерию Пирсона

Для проверки гипотезы о нормальном распределении случайной величины Х сравнивают между собой экспериментальные и теоретические частоты по критерию Пирсона:

Статистика имеет распределение с V = k – r – 1 степенями свободы, где k – число интервалов эмпирического распределения, r – число параметров теоретического распределения, вычисленных по экспериментальным данным. Для нормального распределения число степеней свободы равно:

V=k –3

В теории математической статистики доказывается, что проверку гипотезы о модели закона распределения по критерию Пирсона можно делать только в том случае, если выполняются следующие неравенства:

N ≥ 50 ≥ 5 где i = 1,2,3…

Из результатов вычислений, приведенных в таблице 1.5.1, следует, что необходимое условие для применения критерия согласия Пирсона не выполнены, т.к. в некоторых группах < 5. Поэтому те группы вариационного ряда, для которых необходимое условие не выполняется, объединяют с соседними и, соответственно, уменьшают число групп, при этом частоты объединенных групп суммируются. Так объединяют все группы с частотами < 5 до тех пор, пока для каждой новой группы будет выполняться условие ≥ 5.

При уменьшении числа групп для теоретических частот соответственно уменьшают и число групп для эмпирических частот. После объединения групп в формуле для числа степеней свободы V=k –3 в качестве k принимают новое число групп, полученное после объединения частот.

Результаты объединения интервалов и теоретических частот для таблицы 5.2 приведены соответственно в таблице 6.1.

Результаты вычислений из таблицы 6.1 можно использовать для проверки гипотезы о нормальном распределении с помощью критерия Пирсона.

Процедура проверки гипотезы о нормальном распределении случайной величины Х выполняется в следующей последовательности:

1. Задаются уровнем значимости а =0,05 или одним из следующих значений: а ₁ = 0,01; а ₂ = 0,1; а ₃ = 0,005.

2. Вычисляют наблюдаемые значения критерия, используя экспериментальные и теоретические частоты из таблицы 6.1.

3. Для выборочного уровня значимости а = 0,05 по таблице распределения находят критические значения при числе степеней свободы V= k –3, где k – число групп эмпирического распределения.

4. Сравниваем фактически наблюдаемое с критическим , найденным по таблице, и принимаем решение:

· если > , то выдвинутая гипотезы о теоретическом законе распределения отвергается при заданном уровне значимости.

· Если < , то выдвинутая гипотеза о теоретическом законе распределения не противоречит выборке наблюдений при заданном уровне значимости, т.е. нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении, т.к. эмпирические и теоретические частоты различаются незначительно (случайно).

Таблица 6.1

Результаты объединения интервалов и теоретических частот

[6,1775; 9,1775)	0,138	8,28		0,5184	0,0626
[9,1775; 10,6775)	0,213	12,78		0,6084	0,0476
[10,6775; 12,1775)	0,273	16,38		0,3844	0,0235
[12,1775; 13,6775)	0,2175	13,05		0,9025	0,0692
[13,6775; 18,1775)	0,152	9,12		1,2544	0,1375
Σ	0,9935	59,61			0,3404

При выбранном уровне значимости а = 0,05 и числе групп k = 5, число степеней свободы V = 2.

По таблице для а = 0,05 и V = 2 находим = 5,99147.

В результате получаем:

Для = 0,3404, найденного по результатам вычислений приведенных в таблице 6.1, имеем:

= 0,3404< = 5,99147

Из этого следует, что нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении случайной величины Х.