Линейная зависимость и независимость.

 

Пусть дано , , тогда выражение вида называется линейной комбинацией векторов , линейная комбинация называется тривиальной, если (тривиальная комбинация векторов = ).

 

Линейно независимая комбинация векторов – система векторов называется линейно независимой, если только тривиальная комбинация этой системы равна нулевому вектору.

 

Линейно зависимая комбинация векторов - система векторов называется линейно зависимой, если в линейной комбинации этих векторов равной нулевому вектору есть хотя бы один не нулевой коэффициент.

 

Свойства линейной комбинации векторов:

1) пусть содержит линейно зависимую подсистему векторов , тогда система является линейно зависимой.

 

Доказательство:

Система векторов линейно зависимая система => по определению есть

Рассмотрим систему, пусть все коэффициенты кроме , равны нулю :

прибавим к этой системе ; получим систему , причем и => по определению система является линейно зависимой.

 

2) пусть является линейно независимой системой векторов, тогда любая её подсистема является линейно независимой.

 

Доказательство:

Предположим содержит линейно зависимую систему векторов, тогда по первому свойству система будет линейно зависимой, это противоречит условию => предположение неверно => система не может содержать линейно зависимую подсистему => любая её подсистема является линейно независимой.

 

3) если система векторов содержит хотя бы один нулевой вектор, тогда система векторов является линейно зависимой.

 

Доказательство:

Рассмотрим такую линейную комбинацию: , причем . Мы получили систему векторов равную нулевому вектору с => система векторов линейно зависимая.

 

4) пусть линейно зависимая система векторов, тогда по крайне мере один вектор этой системы можно выразить через линейную комбинацию других векторов.

 

Доказательство:

Т.к. система линейно зависимая, то существует i коэффициент не равный нулю (), разделим на этот элемент правую и левую часть равенства.

 

Линейная зависимость системы векторов, состоящей из одного вектора.

Система из одного вектора линейно зависима тогда и только тогда, когда .

(=>) система векторов - линейно зависимая, Доказать

Доказательство:

По определению , =>

(<=) , доказать система векторов - линейно зависимая

Доказательство:

, => система линейно зависимая.

 

Линейная зависимость системы векторов, состоящей из двух векторов.

Система векторов , линейно зависима тогда и только тогда, когда вектора параллельны между собой( // )

(=>) // , доказать, что система линейно зависима.

Доказательство:

// => по теореме о коллинеарных векторах => , => система векторов , линейно зависимая.

(<=) Система векторов , линейно зависимая Доказать: // .

Доказательство:

Приложим начала векторов , к одной точке. Т.к система векторов линейно зависима, то , причем или , пусть для определенности , тогда => // .

 

Линейная зависимость системы векторов, состоящей из трёх векторов.

Система векторов , , линейно зависима тогда и только тогда, когда вектора , , компланарны (если при приложение к одной точке начал векторов они лежат в одной плоскости, то такие вектора называются компланарными).

(<=)вектора , , компланарные, Доказать: Система векторов , , линейно зависима.

Доказательство:

1)если среди этих трех векторов, есть два параллельных между собой, то вся система векторов будет линейно зависимой(т.к. будет линейно зависимая подсистема).

2)приложим все вектора к одной точке. Рассмотрим в этой плоскости аффинную систему координат с базисом , .

=>

=> линейно зависима система векторов.

(=>)Система векторов , , линейно зависима. Доказать , , компланарные.

Доказательство:

( или или . пусть для определенности )

1) // => => компланарны.

2) вектора , не коллинеарны. Приложим все 3 вектора к одной точке. Вектора и задают однозначно плоскость γ, рассмотрим аффинную систему координат с базисом , . Рассмотрим вектор с координатами , => => => вектора , , компланарные.

 

 

Замечание: Любая система из 4 векторов и более в 3 мерном пространстве линейно зависимая.

 

Деление отрезка в заданном отношение.

Рассмотрим прямую n, , АВ – отрезок.

 

Рассмотрим на n точку С(x_C, y_C); . Будем говорить С делит АВ в отношение λ.

1) Пусть точка С лежит на отрезке АВ.

 

λ>0

2) Пусть точка С лежит правее точки В.

 

 

λ>0 |λ|>1

3) Пусть точка С лежит левее точки А.

 

λ>0 |λ|<1

 

найдем координаты точки С.

(x_b-x_a;y_b-y_a), (x_a-x_c,y_a-y_c), (x_c-x_b,y_c-y_b)

= + , =λ* => = (λ+1)

x_b-x_a=x_b*(1+ λ)

(аналогично для y_c,z_c).

 

Деление отрезка в отношение.

Пусть точка С делит отрезок АВ в отношение λ, тогда (аналогично для y_c и z_c).

Доказательство: формула деления отрезка в определенном отношение.

 

Следствие: пусть С середина отрезка АВ, тогда x_c=(x_a+x_b)/2.

 

 

Направляющие косинусы.

Пусть в трёхмерном пространстве есть прямоугольная система координат XYZ.

Обозначим через α угол между вектором и лучом ОХ, через β угол между вектором и лучом ОY, через γ угол между вектором и лучом ОZ.

 

Определение: cos α, cos β, cos γ – направляющие косинусы вектора .

Теорема: .

Доказательство: проведем через конец вектора :

• прямую перпендикулярную ОХ, эта прямая пересекает ОХ в точки А.
• прямую перпендикулярную ОY, эта прямая пересекает ОY в точки B.
• прямую перпендикулярную ОZ, эта прямая пересекает ОХ в точки C.

 

Проведем через конец вектора прямую перпендикулярную плоскости (XOY), эта прямая пересекает плоскость (XOY) в точке D, через точку D проведем прямую перпендикулярную ОХ и так далее будем проводить прямые перпендикулярные к осям.

, =>

=> .