Переход из одной аффинной системы координат в другую.

1) Параллельный перенос:

	Y1

 

Рассмотрим точку Р с в старой системе координат P(x,y), а в новой P(y₁, y₁).

Рассмотрим вектор ОО₁, .

Координаты точки Р равны координатам радиус вектора O₁P в новой системе координат.

Т.к система координат получена параллельным переносом, то координаты старой и новой системы равны и равны (x₁, y₁).

 

2)Переход от одной системы координат к другой, с одним центром:

 

 

x₁=(x*a+y*c) y₁=(x*b+y*d)

=>P→(x*a+y*c,x*b+y*d)=

,

A – матрица перехода от одной системы координат к другой.

 

Замечание:

• Первый столбец матрицы перехода состоит из координат первого старого базисного вектора в новом базисе.
• Второй столбец матрицы перехода состоит из координат второго старого базисного вектора в новом базисе.

 

Пусть в плоскости есть XOY – старая система координат и X₁O₁Y₁ – новая система координат.

Общая формула:

A – матрица 2*2, в первом столбце координаты старого базисного вектора в новом базисе, аналогично для второго столбца.

OO₁=(α, β) – в старом базисе.

 

Следствие: преобразование прямоугольных координат.

 

Пусть XOY – старая прямоугольная система координат, X₁O₁Y₁ – новая прямоугольная система координат.

 

 

Переход от XOY к X₁O₁Y₁ задаётся углом поворота α.

 

Скалярная и векторная проекция вектора на вектор.

 

Вектор называется векторной проекцией вектора на вектор .

Скалярной проекцией вектора на вектор называется число, по модулю равное длине вектора и имеющее знак плюс, ↑↑ и знак минус, если ↑↓ .

Пр(, ) – скалярная проекция.

Пр(, )=| |*cos(γ)=

 

Скалярное произведение векторов.

Пусть и два данных вектора, чтобы найти угол между ними надо совместить их начала и взять наименьший угол из двух возникающих.

 

Скалярным произведение двух векторов называется и называется число, которое обозначается (, ) и равное | |*| |*cos(α), где α - угол между векторами и .

 

Свойства скалярного произведения векторов:

1) коммутативность ((, )=(, ))

 

Доказательство: (, )=| |*| |*cos(α)= | |*| |*cos(α)=(, )

 

2) линейность по первому аргументу

а) (λ* , )=λ*(, )

 

Доказательство: 1) λ=0 слева и справа ноль

2) λ≠0 (λ* , )=|λ* |*| |*cos(α1)= λ*| |*| |*cos(α)

λ* // , λ* ↑↑ => α1=α => (λ* , )=λ*(, )

б)

Доказательство:

=

 

ОА – векторная проекция вектора на вектор .

АВ – векторная проекция вектора на вектор .

ОВ – векторная проекция вектора + на вектор

 

=> .

 

3)

Доказательство:

 

4) Скалярное произведение векторов является критерием ортогональности векторов

┴ <=> (, )=0

 

Доказательство:

Нулевой вектор будем считать ортогональным любому вектору

а) Дано: (, )=0

| |≠0, | |≠0, cos(γ)=0 => ┴

 

б) Дано: ┴

|≠0, | |≠0, cos(γ)=0 => (, )=0

 

Пусть | |=0 => (, )=0

 

5) Выражение скалярного произведения в координатах:

Пусть: , =(x_b,y_b).

Теорема: (, )=x_a*x_b+y_a*y_b

 

Доказательство:

=x_a*

= x_b*

(, )=(x_a* , x_b* )=

 

по свойству 2 скалярное произведение является линейным и по 2 аргументу

(,λ* )=(λ , )=λ*(, )=λ*(, )

(, + )=( + , )=(, )+(, ) =(, )+(, )=

= (x_a* , x_b* ) + (, x_b* ) = (x_a* , x_b* ) + (x_a* , ) + (, x_b* + (, ) = x_a*x_b*(, ) + xA*y_b (, ) + y_a*x_b*(, + y_a*x_b*(, ) = x_a*xB*(, ) + y_a*x_b*(, ) = x_a*x_b + y_a*x_b