Аналитическая геометрия в пространстве

Аналитическая геометрия в пространстве

 

Системы координат в пространстве

 

■ Декартова прямоугольная система координат. Эта система координат определяется заданием трех взаимно перпендикулярных осей (пересекающихся в одной точке О – начале координат) и единицы масштаба. Оси обычно обозначают Ox, Oy, Oz. Имеет место взаимно однозначное соответствие между точками пространства и тройками чисел x, y, z – координатами точек.

Замечание. Различают правые и левые системы декартовых координат.

 

■ Расстояние d между двумя точками пространства и (т.е. длина отрезка АВ) вычисляется по формуле

.

В частности, расстояние от точки до начала координат равно .

 

Пример 1. Расстояние между точками A (-3, 1, 5) и B (-2, 0, 4) равно , а длина отрезка ОА равна .

 

 

■ Деление отрезка в данном отношении. Пусть даны точки и . Координаты точки D(x, y, z), делящей отрезок АВ в отношении AD: DB = λ, определяются по формулам

, , .

 

Координаты середины отрезка (т.е. точки С(x, y, z), делящей отрезок АВ в отношении AС: СB = λ = 1) находятся по формулам

, , .

 

Пример 2. Найти точку D(x, y, z), делящую отрезок АВ в отношении AD: DB = 1,5, если даны координаты точек A (-2, 1, 4) и B (3, 6, -1).

Решение. Находим , , .

Ответ: D (1, 4, 1).

 

Векторная алгебра

Векторы

 

■ Понятие вектора. Различают скалярные величины (такие, как масса, температура, плотность) и векторные величины (сила, скорость, ускорение и т.п.). Скалярные величины охарактеризованы одним числом, выражающим отношение этой величины к единице измерения. Для векторной величины одного числа недостаточно: они обладают еще и направленностью. Для выражения таких величин служат геометрические векторы.

 

Геометрическим вектором называется направленный отрезок. Векторы обозначаются либо (точка А – начало вектора, точка В – конец вектора), либо . Длина отрезка АВ называется модулем вектора и обозначается (или ).

Нулевым вектором называется вектор, у которого начало и конец совпадают. Коллинеарными векторами называются векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Векторы называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковые модули и одинаковые направления.

В геометрии не различают равных векторов, получающихся друг из друга параллельным переносом. В этом смысле векторы называют свободными.

 

 

■ Произведение вектора на число. Произведением вектора на действительное число называется вектор , удовлетворяющий трем условиям: 1) модуль вектора равен ; 2) вектор коллинеарен вектору ; 3) и направлены одинаково, если и противоположно, если (если , то , т.е. представляет собой нулевой вектор).

 

Вектор или называется противоположным вектором по отношению к вектору .

 

 

■ Сумма векторов. Суммой векторов и называется вектор , получаемый либо по правилу параллелограмма (рис. 24, а), либо по правилу треугольника (рис. 24, б). При этом подразумевается, что векторы и предварительно параллельным переносом должны занять положение, показанное на рисунках.

 

 

Рис. 24.

 

Сумму произвольного числа векторов можно построить по следующему правилу: приложим вектор к концу вектора , вектор – к концу вектора и т.д.; тогда сумма n векторов будет представлять собой вектор, идущий из начала вектора в конец вектора (" правило многоугольника " или " правило замыкающей ").

Операция сложения векторов обладает свойствами коммутативности и ассоциативности . Кроме того, для любого вектора , , также и .

 

 

■ Разность векторов. Разностью векторов и называется такой вектор , для которого (см. рис. 25, где векторы и приведены к общему началу).

 

Можно рассматривать разность векторов и как сумму вектора и вектора , противоположного вектору : .

 

 

■ Проекция вектора на ось. Углом между осью l (направленной прямой) и вектором называется угол кратчайшего поворота оси до совмещения ее направления с направлением вектора (аналогично определяется угол между двумя векторами).

Проекция вектора на ось находится по формуле

(в случае тупого угла между вектором и осью проекция оказывается отрицательной).

 

 

■ Разложение вектора по базису. Координаты вектора. Обозначим через , , единичные векторы (или орты) осей декартовой прямоугольной системы координат Oxyz. Любой вектор пространства единственным образом представляется в виде такой линейной комбинации векторов , , :

. (*)

Наряду с (*) используется и такая запись:

.

Тройку векторов , , называют координатным базисом пространства, а представление (*) – разложением вектора по базису.

Числа X, Y, Z – коэффициенты этого разложения – называются координатами вектора ; они определяются вектором однозначно, а именно, они представляют собой проекции вектора на оси координат.

Замечание. Разложение векторов можно производить не только по ортогональному базису , , , но и по любым трем некомпланарным (т.е. не лежащим в одной плоскости) векторам (если вектор лежит на плоскости, то в качестве базиса можно взять любую пару неколлинеарных векторов).

 

 

■ Определение координат вектора по координатам его начала и конца. Если даны начало вектора и его конец , то имеем

или

.

В частном случае, когда начало вектора находится в начале координат, имеем , т.е. в этом случае координаты вектора совпадают с координатами конца вектора (отметим, что вектор называют радиусом-вектором точки В).

Модуль вектора (как и длина отрезка АВ) находится по формуле

.

В частности, модуль вектора с началом в точке О равен .

 

Пример 1. Пусть начало вектора расположено в точке A (-3, 1, 5), а конец – в точке B (-2, 0, 4). Тогда вектор или же , а модуль этого вектора ; радиус-вектор точки В равен , а .

 

 

■ Координаты суммы векторов равны суммам одноименных координат слагаемых: если , , то .

Аналогично ; кроме того, координаты вектора равны произведениям координат вектора на число :

.

 

Пример 2. Найти координаты вектора , если , .

Решение. Находим , , поэтому

.

 

 

Скалярное произведение

 

■ Определение. Скалярным произведением векторов и называется число (которое мы будем обозначать ), равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними:

. (1)

Можно использовать проекции векторов: скалярное произведение векторов равно произведению на проекцию вектора на ось вектора или произведению на проекцию вектора на ось вектора :

.

Если и – ненулевые векторы, то при остром угле между ними скалярное произведение положительно, а при тупом угле – отрицательно.

Скалярное произведение векторов называется произведением потому, что оно обладает алгебраическими свойствами произведения чисел:

; ;

.

Эти свойства дают возможность перемножать векторные многочлены по обычным правилам алгебры. Отличие же от произведения чисел состоит, в частности, в том, что бессмысленно говорить о скалярном произведении трех (и более) векторов.

 

 

■ Физический смысл скалярного произведения. Допустим, что вектор изображает силу, точка приложения которой перемещается из начала в конец вектора . Тогда работа этой силы равна (где – угол между направлениями силы и перемещения), т.е. работа равна скалярному произведению векторов и .

 

 

■ Скалярный квадрат вектора. Рассмотрим скалярное произведение . Оно называется скалярным квадратом вектора и обозначается . Имеем

. (2)

Таким образом, скалярный квадрат вектора – неотрицательное число (равное квадрату модуля вектора). В частности, для ортов осей декартовой системы координат имеем (а ).

 

 

■ Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей. Если в декартовой прямоугольной системе координат заданы векторы и , то

. (3)

 

 

■ Угол между двумя векторами и можно найти из соотношения

. (4)

 

 

■ Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов

(5)

или, в координатах,

. (6)

 

Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов и состоит в пропорциональности их координат (т.к. ):

(если какая-нибудь из координат вектора равна нулю, то и соответствующая координата вектора равна нулю).

Например, векторы и коллинеарны, так как выполняется условие .

 

 

■ Нахождение проекции одного вектора на направление другого. Проекция вектора на направление вектора находится по формуле , а проекция на направление – по формуле .

 

 

■ Направляющие косинусы вектора. Обозначим через углы, образованные вектором с осями координат Ox, Oy, Oz соответственно. Тогда числа , , называются направляющими косинусами вектора . Очевидно,

, , ;

отсюда ясно, что координатами произвольного единичного вектора служат его направляющие косинусы:

.

Направляющие косинусы связаны соотношением

.

 

 

■ Проекция вектора на ось. Пусть заданы ось l, имеющая орт (единичный направляющий вектор) , и некоторый вектор . Если , , – направляющие косинусы орта , то проекцию вектора на ось l можно найти по формуле

(см. также стр. ___).

 

Пример 1. Найти скалярное произведение векторов и , если длины этих векторов соответственно равны 5 и 4, а угол между ними равен 60º.

Решение. По определению скалярного произведения (формула (1)) .

Ответ: .

 

Пример 2. Доказать, что векторы и перпендикулярны.

Решение. Находим скалярное произведение по формуле (3): . Равенство скалярного произведения нулю означает, что векторы перпендикулярны.

 

Пример 3. Найти угол между векторами и .

Решение. Воспользуемся формулой (4):

;

отсюда .

 

Пример 4. В треугольнике ABC с вершинами А (1,0,-1), В (2,-1,-5), С (3,-2,4) найти проекцию стороны АВ на сторону АС.

Решение. Находим векторы:

, . Искомая проекция равна (отрицательный знак проекции свидетельствует о том, что – тупой).

 

Пример 5. Найти длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и , если угол между векторами равен 60º и , .

Решение. Одна из диагоналей параллелограмма изображается вектором , а другая – вектором .

Найдем скалярный квадрат . (здесь мы воспользовались формулой (2)); аналогично . Из формулы (2) следует, что ; аналогично .

Ответ: длины диагоналей равны и .

 

 

Плоскость в пространстве

■ Векторное уравнение плоскости. Пусть плоскость проходит через точку и перпендикулярна вектору . Для произвольной точки плоскости ("текущей точки") векторы и должны быть перпендикулярны. Отсюда получаем векторное уравнение плоскости

.

Здесь – ненулевой вектор, который называют нормальным вектором плоскости (рис. 28).

В координатной форме уравнение плоскости принимает вид

. (1)

 

Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку (-1, 0, 2) и перпендикулярной вектору .

Решение. Искомое уравнение имеет вид .

Рис. 28.

 

■ Общее уравнение плоскости. Уравнению (1) можно придать вид

. (2)

Это уравнение первой степени с тремя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов А, В, С отличен от нуля. Оно называется общим уравнением плоскости.

Любая плоскость определяется уравнением вида (2). Рассмотрим частные случаи общего уравнения плоскости.

1) При уравнение принимает вид ; такая плоскость проходит через начало координат.

2) При , , уравнение плоскости – плоскость параллельна оси Ох (и проходит через нее, если ).

3) При , , уравнение плоскости – плоскость параллельна оси Оy (и проходит через нее, если ).

4) При , , уравнение плоскости – плоскость параллельна оси Оz (и проходит через нее, если ).

5) При , , уравнение плоскости – плоскость параллельна плоскости хOy (в частности, – уравнение плоскости хOy).

6) При , , уравнение плоскости – плоскость параллельна плоскости xОz (в частности, – уравнение плоскости хOz).

7) При , , уравнение плоскости – плоскость параллельна плоскости yОz (в частности, – уравнение плоскости yOz).

Для построения плоскости на чертеже достаточно получить какие-нибудь три точки данной плоскости. Чаще всего находят точки пересечения плоскости с осями координат (если плоскость не параллельна ни одной из осей).

Пример 2. Построить плоскость, заданную уравнением .

Решение. а) положим , , тогда ; получаем точку пересечения плоскости с осью Ох: Р (2, 0, 0); б) положим , , тогда ; получаем точку пересечения плоскости с осью Оу: Q (0, 3, 0); в) положим , , тогда ; получаем точку пересечения плоскости с осью Оz: R (0, 0, 6). Для наглядного изображения плоскости остается соединить отрезками прямых три полученные точки Р,Q, R (рис. 29, а).

Пример 3. Построить плоскость, заданную уравнением .

Решение. а) положим , , тогда ; получим точку пересечения плоскости с осью Ох: Р (2, 0, 0); б) положим , , тогда ; получим точку пересечения плоскости с осью Оz: R (0, 0, 3). Соединим отрезком прямой точки P и R, после чего нетрудно представить себе, как выглядит данная плоскость (рис. 29, б).

 

Рис. 29.

 

 

■ Уравнение плоскости в отрезках на осях. Если (а, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, с) – точки пересечения плоскости с осями Ох, Оу, Oz соответственно (здесь а, b, с не равны нулю), то уравнению такой плоскости можно придать форму

. (3)

Это "уравнение плоскости в отрезках". Эта форма уравнения плоскости особенно удобна для построения плоскости на чертеже. Если в уравнении (2) коэффициенты и свободный член не равны нулю, можно записать его в виде , т.е. придать ему форму (3).

 

 

■ Нормальное уравнение плоскости. Аналогично тому, как это делалось для уравнения прямой на плоскости (см. п.1.6.), общее уравнение плоскости можно привести к нормальному виду, деля его на число , где знак перед корнем берется противоположным знаку свободного члена D.

Для нахождения расстояния от данной точки до данной плоскости надо привести уравнение плоскости к нормальному виду, а затем подставить в левую часть нормального уравнения плоскости координаты данной точки М. Тогда искомое расстояние равно абсолютной величине полученного при этом числа h, т.е. равно

.

Замечание. Если , т.е. если плоскость не проходит через начало координат, то при h<0 точка М и начало координат лежат по одну сторону от данной плоскости, а при h>0 – по разные стороны (при h=0, очевидно, точка М лежит на плоскости).

 

Пример 4. Найти расстояние от точки М (1, 2, 3) до плоскости .

Решение. 1) Приводим уравнение плоскости к нормальному виду, деля его на (знак плюс взят потому, что ): ;

2) Подставляя в левую часть этого уравнения , , , получим число . Таким образом, искомое расстояние равно . Тот факт, что , свидетельствует о том, что точки М и О лежат по разные стороны от заданной плоскости.

 

Пример 5. Найти расстояние между двумя параллельными плоскостями и .

Решение. Возьмем произвольную точку на первой плоскости, например, точку М (0, -1, 0). Искомое расстояние равно, очевидно, расстоянию от точки М до второй плоскости, т.е. .

Ответ: .

 

 

■ Угол между двумя плоскостями. Пусть две плоскости заданы общими уравнениями

,

. (4)

Угол между их нормальными векторами и равен (двугранному) углу между данными плоскостями. Поэтому угол между плоскостями можно найти из формулы

(см. формулу (4) из п. 2.3.). Это угол лежит в пределах от 0 до ; другой двугранный угол, образованный двумя пересекающимися плоскостями, равен .

 

 

■ Условие перпендикулярности двух плоскостей. Две данные плоскости (4) перпендикулярны тогда и только тогда, когда , т.е. при выполнении условия

или

(см. формулу (5) из п. 2.3.).

Например, плоскости и перпендикулярны, так как .

Две данные плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и коллинеарны, т.е. при выполнении условия

.

Здесь, как и в п.2.3, при равенстве нулю какого-нибудь из знаменателей следует считать равным нулю и соответствующий числитель.

Например, плоскости и параллельны, так как . Заметим дополнительно, что если выполняются равенства , то это говорит о том, что плоскости совпадают, т.е. уравнения (4) определяют одну и ту же плоскость.

 

Пример 6. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М ₀(1, -1, 0) и параллельна плоскости .

Решение. Так как у нужной нам плоскости, очевидно, тот же самый нормальный вектор {2, 3, -4}, что и у заданной плоскости, то искомое уравнение должно иметь вид или – ответ.

 

Пример 7. Найти угол между плоскостями, заданными уравнениями и .

Решение. Находим косинус угла между нормальными векторами и : ;

отсюда . Это один из двугранных углов, образованных плоскостями; другой угол равен .

 

 

■ Уравнение пучка плоскостей. Все плоскости, проходящие через линию пересечения двух (не параллельных) данных плоскостей (4) ("пучок плоскостей"), представляются уравнением вида

,

где p и q – произвольные числа, не равные нулю одновременно. Придавая p и q конкретные значения, получаем уравнение той или иной плоскости, проходящей через прямую, по которой пересекаются две данные плоскости. Например, при получим уравнение первой плоскости, а при – уравнение второй плоскости.

 

Пример 8. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения двух плоскостей и и через начало координат.

Решение. Искомое уравнение содержится в уравнении пучка плоскостей

,

где p и q – некоторые числа, причем (в противном случае это уравнение дало бы плоскость , которая не проходит через начало координат). Поэтому искомое уравнение можно записать в виде

.

Требование, чтобы плоскость проходила через начало координат, приводит к равенству