Задачи на составление уравнения плоскости

 

Рассмотрим несколько задач, в которых требуется составить уравнение плоскости, удовлетворяющей тем или иным условиям. Решения всех этих задач сводятся к записи условия компланарности трех векторов, которое состоит в равенстве нулю их смешанного произведения (см. п. 2.5).

 

Задача 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через 3 данные точки , , .

Решение. Обозначим через произвольную ("текущую") точку плоскости. Точка М будет лежать в одной плоскости с точками тогда и только тогда, когда векторы , , будут лежать в одной плоскости (компланарны). Записываем условие компланарности: или в координатах (см п. 2.5)

.

При решении остальных задач для краткости не будем выписывать выражение смешанного произведения в виде определителя третьего порядка.

 

Задача 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через две точки и и перпендикулярной данной плоскости .

Решение. Пусть – текущая точка нужной нам плоскости. Она будет принадлежать этой плоскости тогда и только тогда, когда векторы , и нормальный вектор заданной плоскости будут компланарны. Поэтому искомое уравнение записывается в виде следующего условия компланарности: .

 

Задача 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и параллельной другой данной прямой (заданные прямые не параллельны).

Решение. Пусть M – текущая точка плоскости, а М ₀ – любая точка первой прямой, и – направляющие векторы заданных прямых. Ясно, что должны быть компланарны векторы , и . Искомое уравнение: .

 

Задача 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через данную точку М ₀ и данную прямую.

Решение. Здесь дело сводится к записи условия компланарности трех векторов: (где М – текущая точка плоскости), (где – какая-нибудь точка заданной прямой) и – направляющего вектора прямой. В результате приходим к уравнению плоскости:

.

 

Задача 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через данную прямую и перпендикулярной данной плоскости.

Решение. Эта задача похожа на Задачу 2, только надо заменить вектор на направляющий вектор заданной прямой. В итоге получаем искомое уравнение:

.

 

 

Поверхности второго порядка

■ Поверхностями второго порядка называются такие множества точек в пространстве, координаты которых удовлетворяют уравнению вида

. (*)

 

Например, уравнение

определяет сферу радиуса R с центром в начале координат.

 

■ Канонические уравнения поверхностей второго порядка. При помощи поворотов и параллельного переноса осей координат всякое уравнение вида (*) может быть преобразовано к каноническому виду. Основные канонические уравнения и названия соответствующих поверхностей даны в табл. 1, а их схематические изображения приведены на рис. 32, а – к. Ниже описаны наиболее важные свойства некоторых поверхностей второго порядка.

Эллипсоид (рис. 32, а).Сечением эллипсоида любой плоскостью, параллельной координатным плоскостям, является эллипс (в частном случае круг). Координаты точек эллипсоида удовлетворяют неравенствам , , .

В частном случае имеем эллипсоид вращения, получающийся при вращении эллипса , лежащего в плоскости xOz,вокруг оси Oz.

Гиперболоиды (рис. 32, б, в).Для обоих гиперболоидов сечения, параллельные оси Oz – гиперболы (для однополостного гиперболоида в сечении может быть пара пересекающихся прямых); сечения, параллельные плоскости хОу – эллипсы.

Двуполостный гиперболоид состоитиз двух частей, точки которых расположены соответственно при и .

Конус (рис. 32, г)имеет вершину в начале координат. Поверхность конуса состоит из прямых линий (эти линии называются образующими),проходящих через его вершину и через точки эллипса с полуосями а и b,плоскость которого перпендикулярна оси Oz и находится на расстоянии с от начала координат.

Эллиптический параболоид (рис. 32, д).Сечения, параллельные оси Oz – параболы; сечения, параллельные плоскости хОу – эллипсы. Точки эллиптического параболоида расположены в области .

В частном случае имеем параболоид вращения, порождаемый вращением параболы вокруг оси Oz.

Гиперболический параболоид (рис. 32, е). Сечения, параллельные плоскостям yOz и xOz – параболы; сечения, параллельные плоскости хОу – гиперболы (и пара пересекающихся прямых).

Цилиндры (рис. 32, ж, з, и).Поверхности цилиндров состоят из прямых линий (образующих), параллельных оси Oz. Сечениями (перпендикулярными оси Oz) эллиптического, гиперболического и параболического цилиндров соответственно являются эллипсы, гиперболы и параболы.