Контрольная работа №1 «Линейная алгебра. Аналитическая геометрия»

1) Даны матрицы: ,

Найти .

2) Дана матрица . Найти обратную к ней матрицу

 

3) Решить системы линейных уравнений методом Жордана – Гаусса:

а) b)

 

4) Даны векторы .

a)Доказать, что вектора образуют базис и найти разложение вектора по этому базису.

b) Найти скалярное произведение векторов и .

c) Найти векторное произведение векторов и .

d) Найти смешанное произведение векторов .

 

5) Даны координаты вершин треугольника, A (8;2), B (-8;-10), C (-1;14). Найти:

a) длину стороны AB;

b) общие уравнения сторон AB и BC;

c) величину угла B;

d)длину и уравнение высоты, опущенной из вершины ;

e) площадь треугольника ;

f) уравнение прямой, проходящей через точку параллельно стороне .

 

6) Даны четыре точки A (-2,5;-1;-1), B (0,5;-2;1), C (-1,5;-3;-1), M (3;-3;-1). Найти:

a)уравнение плоскости a, проходящей через три точки A, B, C;

b)каноническое уравнения прямой AB;

c)уравнение и длину высоты, опущенной из вершины М на грань ;

d) объем пирамиды АВСМ.

 

7) Дано уравнение кривой второго порядка: .

Привести его к каноническому виду, определить вид кривой, указать её параметры (для эллипса и гиперболы – центр, вершины, полуоси, фокусы, а для гиперболы и асимптоты. Для параболы указать координаты вершины, координаты фокуса, величину параметра p, уравнение директрисы). Изобразить кривую на координатной плоскости.

Контрольная работа №2 «Введение в анализ.

Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных»

1) Вычислить пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:

a) ; b) ; c) ;

d) ; e)

2)Исследовать функции на непрерывность. Классифицировать точки разрыва.

a) ; b)

3) Найти производные для следующих функций:

a) ; b) ; c) ; d)

4) Найти уравнения касательной и нормали к графику функции

в точке x₀=1.

5) С помощью методов дифференциального исчисления построить график функции .

6) Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке .

7) Даны функция и точки A(1;3), B(0,97;3,02). Вычислить:

a)значение функции ;

b) с помощью дифференциала, заменяя приращение при переходе от A к B дифференциалом. Оценить в процентах относительную погрешность вычисления.

c) cоставить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке A.

8) Даны функция , точка М(1;-1;2) и вектор .

Найти:

a) градиент данной функции в точке М;

b) производную функции в точке М по направлению вектора .

9) Дана функция . Найти:

a) экстремум данной функции;

b) наибольшее и наименьшее значения функции в области , ограниченной линиями:

 

 

Типовой разбор варианта контрольной работы

Контрольная работа №1

 

1)Даны матрицы: , , .

Найти

Решение:

Матрица А имеет размерность , матрица В размерность . Т.к. число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы, то данные матрицы можно перемножить. В результате получится некоторая матрица D, имеющая размерность .

Найдем элементы матрицы D:

; ; ; ;

; ; ; .

Тогда .

По правилу умножения матрицы на число

Найдём .

 

2)Дана матрица: . Найти обратную к ней матрицу

Решение:

Вычислим определитель матрицы А методом треугольников:

Т.к. , то обратная матрица может быть найдена. Найдём алгебраические дополнения для всех элементов матрицы А:

		.

 

Составим присоединённую матрицу

Обратная матрица

Для проверки, правильности вычисления , найдём

 

3) Решить систему методом Жордана – Гаусса:

a)

Решение:

Рассмотрим расширенную матрицу системы: . Приведём её к верхне- треугольному виду.

Из 3-ей стоки вычтем 1-ю строку, умноженную на 3: .

Разделим 3-ю строку на 5:

Вычтем из 3-ей строки 2-ю строку: и разделим 3-ю строку

на (-1): . Мы привели матрицу к верхнее- треугольному виду.

Заменим исходную систему системой, полученной путём преобразования матрицы и найдем значения переменных:

Из 2-го уравнения при получим .Подставляя значения y и z в 1-ое уравнение найдем значение .Тогда решение системы может быть представлнно в виде матрицы-столбца: .

b)

Решение:

Рассмотрим расширенную матрицу системы: . Приведём её к верхнее треугольному виду.

Поменяем местами 1-ю и 2-ю строки: . Из 2-ой стоки вычтем 1-ю строку, умноженную на 2, из 3-ей стоки вычтем 1-ю строку, умноженную на 3: . К 3-ей строке прибавим 2-ю строку: . Третью строку разделим на (-30): . Переменные являются базисными, а переменная является свободной. Заменим исходную систему системой, полученной путём преобразования матрицы и выразим базисные переменные через свободные: . Выразим из 3-го уравнения и подставим его значение во второе уравнение, затем из 2-го уравнения выразим и подставим в 1-е уравнение. Тогда система примет вид: . Свободная переменная может принимать любые значения. Зададим , где С - произвольная константа. Тогда решение системы может быть представлнно в виде матрицы-столбца: .

 

4) Даны векторы .

a)Доказать, что вектора образуют базис и найти разложение вектора по этому базису.

b) Найти скалярное произведение векторов и .

c) Найти векторное произведение векторов и .

d) Найти смешанное произведение векторов .

Решение:

a) Три вектора в трёхмерном пространстве образуют базис, если они линейно независимы. Для проверки линейной зависимости векторов составим их нулевую линейную комбинацию: . Данное векторное уравнение соответствует системе трёх линейных однородных уравнений: . Вычислим определитель матрицы, полученной системы: .

Т.к. определитель основной матрицы однородной системы , то система имеет единственное нулевое решение . Следовательно, по определению линейной зависимости векторов, векторы являются линейно независимыми, а значит образуют базис.

Найдём разложение вектора по этому базису. Составим линейную комбинацию: . Перепишем данное векторное уравнение в координатной форме: . Решая полученную систему (например, методом Крамера), найдём . Следовательно, разложение вектора по базису имеет вид: .

b) .

c) Раскрывая определитель по элементам 1-ой строки, получим: .

d) .

 

5) Даны координаты вершин треугольника, A (3_, 5), B (-7, 12), C (2, -6). Найти:

a) длину стороны AB;

b) общие уравнения сторон AB и BC;

c) величину угла B;

d)длину и уравнение высоты, опущенной из вершины ;

e) площадь треугольника ;

f) уравнение прямой, проходящей через точку параллельно стороне .

Решение:

a)Найдём длину стороны AB, как длину вектора : . .

b)Найдём уравнения сторон AB и BC по формуле уравнения прямой, проходящей через две точки.

- общее уравнение прямой АВ.

- общее уравнение прямой ВС.

c) Угол В – есть угол между прямыми AB и BC. Угол между прямыми может быть найден, как угол между их нормальными векторами. . .

d) Опустим высоту из точки А на сторону ВС. Пусть точка D – есть основание этой высоты. Прямая AD перпендикулярна прямой ВС. Следовательно, вектор нормали прямой ВС является направляющим вектором для прямой AD. . Воспользуемся каноническим уравнением прямой. - общее уравнение высоты AD.

Найдём длину высоты AD, как расстояния от точки А до прямой ВС.

.

e)Найдём площадь треугольника как половину произведения длины основания треугольника на его высоту.

Пусть ВС – основание , AD – его высота.

; .

.

f) Обозначим прямую, проходящую через точку параллельно стороне через l. Т.к. , то . Составим каноническое уравнение прямой l.

- общее уравнение прямой l.

 

6) Даны четыре точки A (3;-2;1), B (1;2;4), C (-5;4;6), M (2;3;-1). Найти:

a)уравнение плоскости a, проходящей через три точки A, B, C;

b)каноническое уравнения прямой AB;

c)уравнение и длину высоты, опущенной из вершины М на грань ;

d) объем пирамиды АВСМ.

Решение:

a)Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три точки:

Разложим определитель по элементам первой строки:

- общее уравнение плоскости α.

b) Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки:

- каноническое уравнение прямой АВ.

c) Обозначим высоту, опущенной из вершины М на грань через l. Т.к , то . Составим каноническое уравнение прямой l: .

Найдём длину высоты как расстояние от точки М до плоскости α: .

d)Объём пирамиды равен объёма параллелепипеда, построенного на трёх векторах и может быть вычислен через смешанное произведение этих векторов: .

.

 

7) Дано уравнение кривой второго порядка . Привести её к каноническому виду, определить вид, указать её параметры.

Решение:

Приведём данное уравнение к каноническому виду. Для этого выделим полные квадраты для переменных x и y:

,

,

,

.

Таким образом, получили каноническое уравнение гиперболы со смещённым центром:

или .

Точка – центр гиперболы.

– мнимая полуось;

– действительная полуось;

;

– эксцентриситет.

Точки определяют вершины гиперболы:

, .

Точки определяют фокусы гиперболы:

, .

Уравнения определяют директрисы гиперболы: .

Уравнения определяют асимптоты: .

Начертим гиперболу , используя найденные параметры (рис. 1).

Рис. 1

Контрольная работа №2

1)Вычислить пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.

Решение:

a) . Предел отношения многочленов и иррациональностей при равен пределу отношения старших по степени слагаемых.

b) .

c)

.

d)

e)Воспользуемся обобщённой формулой второго замечательного предела:

.

 

2) Исследовать функции на непрерывность. Классифицировать точки разрыва.

a) .

Решение:

Т.к. при знаменатель дроби обращается в ноль, то -есть точка разрыва данной функции. Найдём пределы при слева и справа.

, , следовательно -есть точка разрыва второго рода.

b)

Решение:

 

Функции , , – элементарные и в области определения непрерывны. Точки разрыва возможны в переходных от одного задания к другому точках, т.е. в точках и . Исследуем поведение функции в этих точках:

слева: справа: , тогда , т.е. функция непрерывна в точке

слева: справа: , тогда , т.е. функция имеет разрыв первого рода в точке , т.к. пределы конечны.

 

3) Найти производные первого порядка для следующих функций:

a)

Решение:

Воспользуемся формулой для нахождения производной частного:

b)

Решение:

Воспользуемся формулой для нахождения производной обратной функции:

c)

Решение:

Воспользуемся формулой логарифмического дифференцирования.

Найдём

По формуле для нахождения производной от произведения:

.

Следовательно .

d)

Решение:

Воспользуемся формулой для нахождения производной параметрически заданной функции: .

;

Тогда .

 

4) Найти уравнения касательной и нормали к графику функции

в точке x₀=-2.

Решение:

- уравнение касательной.

- уравнение нормали.

;

По формуле для нахождения производной частного:

; .

Тогда уравнение касательной: ;

Уравнение нормали: .

 

5) С помощью методов дифференциального исчисления построить график функции .

Решение:

1) Области определения функции не принадлежит только точка х =0:

D(y)=(-¥;0)È(0;+¥).

2) функция общего вида (не чётная и не нечётная).

Функция не периодична потому, что её область определения не имеет периодической структуры.

3)Найдём точки пересечения графика с осями координат.

С осью O x: у =0, , точка .

С осью O y: при х =0 функция не существует точек пересечения с осью O y нет.

 

 

4)Найдем асимптоты функции.

Вертикальные:

Исследуем функцию в окрестности точки разрыва х =0.

Левосторонний предел .

Правосторонний предел равен

-двусторонняя вертикальная асимптота.

Наклонные и горизонтальные:

y = х – прямая, которая служит наклонной асимптотой графика как при x®-¥, так и при x®+¥.

5) Найдем критические точки: х =-2.

Найдем интервалы монотонности (метод интервалов) и точки экстремума функции.

 

Интервалы монотонности: на интервале функция возрастает; на интервале функция убывает.

При х =-2- функция принимает максимальное значение точка максимума.

При х =0 – экстремума нет, так как в этой точке функция не определена.

6) Исследуем функцию на вогнутость, выпуклость и перегиб.

Найдём вторую производную .

 

 

 

Интервалы выпуклости, вогнутости: на интервале функция выпукла. Перегибов нет.

7) На рис.2 построена кривая, удовлетворяющая проведённому исследованию.

 

 

Рис. 2

 

 

6)Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке .

Решение:

. Найдём критические точки:

не существует, если

Точка , .

Найдём .

Найдём значения функции на концах отрезка:

; .

Наибольшее значение на данном отрезке достигается функцией в двух точках – на концах отрезка: .

Наименьшее значение на данном отрезке достигается функцией во внутренней точке отрезка: .

 

7)Даны функция и точки A(1; 2), B(1,02; 1,97).

Вычислить

a) значение функции ;

b) с помощью дифференциала, заменяя приращение при переходе от A к B дифференциалом. Оценить в процентах относительную погрешность вычисления.

c) Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности,заданной данной функцией в точке C (x₀, y₀, z₀).

Решение:

a) .

b) Воспользуемся формулой: .

; ; .

Найдем , , тогда , .

Следовательно, получим:

Оценим относительную погрешность вычисления: .

c) C (1; 2; 3)

Составим уравнение касательной плоскости:

Составим уравнение нормали: .

 

8) Даны функция , точка A(2;-1) и вектор . Требуется найти и производную в точке A по направлению вектора .

Решение:

; ; ;

Следовательно .

Найдём направляющие косинусы вектора :

; .

данная функция убывает в направлении вектора

 

9) Найти экстремум функции и ее наибольшее и наименьшее значения в области : .

Решение:

Найдем стационарные точки функции из системы: .

М(6; -8)- стационарная точка. .

точка М₀(6; -8) является точкой минимума функции.

Стационарная точка М₀ не лежит в заданном круге. Поэтому наибольшее и наименьшее значения функция принимает на границе области, т.е. на окружности .

Составим функцию Лагранжа .

Ее стационарные точки найдем из системы , откуда . Следовательно, стационарными точками границы являются М₁(3, -4) и М₂(-3, 4). . Эти числа являются наименьшим и наибольшим значениями z в заданной области: ; .

Список рекомендуемой литературы.

 

1. Агишева Д. К. Матрицы и их приложение к решению систем линейных уравнений: Учебное пособие/ Д. К. Агишева, С. А. Зотова, В. Б. Светличная. - Волгоград, РПК «Политехник», 2001. – 63с.

2. Александрова Л. А, Александрова В. А, Зотова С. А., Светличная В. Б., Матвеева Т. А., Короткова Н. Н. Математика. I часть: Учебное пособие (для студентов заочной формы обучения) / – Волгоград, РПК «Политехник», 2003. – 84с.

3. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть. – М.: Рольф, 2000. – 288 с., с илл.

4. Данко П. Е.,Попов А. Г.,Коевникова Т. Я. Высшая математика в упранениях и задачах. Том 1 – М.: Высшая школа, 1980 – 320 с., с илл.

5. Зотова С. А., Светличная В. Б., Матвеева Т. А.. Практическое руководство по аналитической геометрии: Учебное пособие / – Волгоград, РПК «Политехник», 2003. – 41с.

6. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии: Учебное пособие для втузов – СПб: «Специальная Литература», 1998.–200 с.: илл.

7. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. – М.: Наука, 1981.–720с.: илл.

8. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. –М.: Гостехтеоргиздат, 1973.

Вопросы к экзамену по математике.