Линейная и векторная алгебра.

1. Матрица. Виды матриц (матрица-строка, матрица-столбец, нулевая, диагональная, квадратная, единичная матрицы). Действия над матрицами (сложение, умножение на число, произведение, транспонирование матриц).

2. Определители 1-го, 2-го и 3-го порядков. Метод треугольников для вычисления определителя 3-го порядка. Минор и алгебраическое дополнение. Разложение определителя по элементам строки (столбца).

3. Невырожденная матрица. Обратная матрица. Метод нахождения обратной матрицы.

4. Решение систем линейных уравнений (метод Крамера, метод обратной матрицы, метод Жордана-Гаусса).

5. Ранг матрицы.

6. Векторы. Модуль вектора. Коллинеарные и компланарные векторы. Сложение векторов, умножение вектора на число.

7. Линейная комбинация и линейная зависимость векторов. Свойства линейно зависимой системы векторов.

8. Размерность пространства, базис пространства. Координаты вектора в данном базисе. Ортонормированный базис. Направляющие косинусы вектора.

9. Ориентация троек векторов. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов и их свойства.

10. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Собственные числа и собственные векторы матрицы линейного оператора

Аналитическая геометрия.

11. Прямая на плоскости. Виды уравнений прямых. Угол между прямыми. Условие параллельности, перпендикулярности двух прямых. Расстояние от точки до прямой.

12. Плоскость. Виды уравнений плоскостей. Угол между плоскостями. Условие параллельности, перпендикулярности двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.

13. Прямая в пространстве. Виды уравнений прямых. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Условие параллельности, перпендикулярности, компланарности двух прямых.

14. Кривые второго порядка (эллипс, окружность, гипербола, парабола). Определение, канонические уравнения, характеристики.

Введение в анализ.

15. Функция. Область определения и область значений функции. Сложная, обратная, параметрически заданная функции.

16. Предел функции. Единственность предела функции в точке. Бесконечно малые (б.м.)и бесконечно большие(б.б.) функции. Свойства б.м. и б.б. функций.

17. Основные теоремы о пределах.

18. Замечательные пределы. Эквивалентные функции.

19. Односторонние пределы.

20. Непрерывность функции. Точки разрыва и их классификация.

 

Дифференциальное и счисление функции одной переменной.

21. Производная функции в точке. Дифференцируемость функции в точке и на промежутке. Геометрический и физический смысл производной. Уравнение касательной и нормали к кривой.

22. Основные правила дифференцирования. Производная сложной, обратной и параметрически заданной функции.

23. Дифференциал функции.

24. Правило Лопиталя.

25. Возрастание и убывание функции. Достаточное условие возрастания и убывания функции.

26. Точки максимума и минимума. Теорема Ферма (Необходимое условие существования точек экстремума). Достаточное условие существования точек экстремума.

27. Выпуклость, вогнутость графика функции. Точки перегиба. Достаточное условие выпуклости, вогнутости графика функции. Необходимое и достаточное условия существования точки перегиба.

28. Асимптоты графика функции. Методы нахождения вертикальных, наклонных и горизонтальных асимптот.

29. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Теорема Вейерштрасса.

 

Функция нескольких переменных.

30. Определение функции двух переменных. Предел и непрерывность функции двух переменных в точке.

31. Частные производные функции двух переменных и их геометрический смысл. Касательная плоскость и нормаль к поверхности, заданной графиком функции z=f(x,y) в точке.

32. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных частных производных.

33. Полный дифференциал функции. Формула для приближенного вычисления значения функции с помощью полного дифференциала.

34. Производная по направлению, градиент функции.

35. Экстремум функции двух переменных, наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой ограниченной области.

Приложения

ВЕКТОРЫ

Координаты точки М есть координаты радиус-вектора

;

Вектор ; где ,

Вектор

Длина вектора

Орт : ()

Направляющие косинусы :

, , ;

Проекция вектора на вектор

, где – угол между и .

Равенство векторов

Коллинеарность векторов

(координаты пропорциональны)

Линейные операции над векторами

Сумма (разность) векторов

.

Умножение вектора на число

Определение, формулы

Свойства, приложения

Скалярное произведение двух векторов

, где – угол между .

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. , в частности: .

Векторное произведение двух векторов

, удовлетворяет условиям: 1. ; 2. ; 3. образуют правую тройку.

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; .

Смешанное произведение трех векторов

1. не меняется при циклической перестановке; 2. меняет знак при перемене мест любых двух векторов; 3. ; 3. ; 4. –компланарны .

ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ

Уравнение с угловым коэффициентом

– угловой коэффициент прямой; –отрезок,отсекаемый прямой на оси .

Общее уравнение

нормаль .

Уравнение в отрезках

– отрезки, которые отсекает прямая на осях координат соответственно.

Каноническое уравнение

точка , направляющий вектор .

Параметрические уравнения

Нормальное уравнение

– орт ; – расстояние от до прямой .

Уравнение прямой, проходящей через

две точки ,

точку и угловой коэффициент

точку и нормаль

точку и направляющий вектор

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ

Кривая II порядка, центр в точке

График кривой, где

Характеристики кривой

Окружность ,

радиус окружности R.

Эллипс

; фокусы лежат на большей оси, равной ; эксцентриситет ; директрисы перпендикулярны большей оси.

; фокусы лежат на большей оси, равной ; эксцентриситет ; директрисы перпендикулярны большей оси.

Гипербола

; асимптоты: .

вершины фокусы лежат на действительной оси ; эксцентриситет ; директрисы перпендикулярны действительной оси.

Гипербола

вершины фокусы лежат на действительной оси ; эксцентриситет ; директрисы перпендикулярны действительной оси.

Парабола

фокус лежит внутри параболы на оси симметрии эксцентриситет ; директриса ; , то ветви вправо; , то ветви влево.

Парабола

фокус лежит внутри параболы на оси симметрии эксцентриситет ; директриса ; , то ветви вверх; , то ветви вниз.

ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

Плоскость в пространстве

Общее уравнение

нормаль

Уравнение в отрезках

– отрезки, которые отсекает плоскость на осях координат

расстояние от точки до плоскости :

Уравнение плоскости, проходящей через

точку и нормаль

три точки , и

Прямая в пространстве

Каноническое уравнение

точка , направляющий вектор .

Параметрическое уравнение

Пересечение двух плоскостей

находим из СЛУ

Уравнение прямой, проходящей через

точку и

две точки и

ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА – это геометрическое место точек пространства, координаты которых в декартовой системе координат являются уравнениями второго порядка.

сфера

трехосный эллипсоид

однополостный гиперболоид

двуполостный гиперболоид

эллиптический параболоид ,

гиперболический параболоид

конус второго порядка

ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ

эллиптический цилиндр

гиперболический цилиндр

параболический цилиндр

 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Правила нахождения производных
Формула логарифмического дифференцирования	Производная обратной функции	Производная функции, заданной параметрически
Таблица производных
1.	2.
3.	4.
5.	6.
7. дтн	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
Касательная и нормаль к графику функции в точке -уравнение касательной -уравнение нормали где

 

Светлана Геннадьевна Антипина

 

 

Методические указания, контрольные работы

по дисциплине «Математика»

 

 

для студентов специальности 190601.65 (150200)

«Автомобили и автомобильное хозяйство»

 

В авторской редакции

Темплан 2009, поз.№ 24 В (З)

Лицезия ИД № 04790 от 25.10.2009

 

Подписано на «Выпуск в свет»- 25.10.09.

 

Уч.-изд.л. 2,44.

На электронном носителе

 

Волгоградский государственный технический университет.

400131 Волгоград, пр. Ленина, 28.