Материал подготовлен учителем математики Тишиным Владимиром Ивановичем.

Тишин В. И.

 

Основные методы

решения

тригонометрических

Уравнений

 

 

Г.

 

 

Материал подготовлен учителем математики Тишиным Владимиром Ивановичем.

 

Года

Содержание

 

Тригонометрические уравнения. 4

1. Метод разложения на множители. 4

Задание 1. 18

2. Метод замены переменных и сведение к алгебраическим уравнениям 18

2.1. Применение формул двойного и половинного аргумента. 21

2.2. Применение формул приведения. 26

Задание 2. 30

3. Уравнения, однородные относительно и ....... 31

3.1. Применение формул приведения. 34

Задание 3. 37

Задание 4. 40

4. Метод замены переменных. 41

4.1. Замена . 41

Задание 5. 45

4.2. Замена ............ 45

4.3. Случаи, когда в уравнении не содержится ........ 47

4.4. Случаи, когда аргументы кратны 2x и x. 49

Задание 6. 51

4.5. Замена . Универсальная тригонометрическая подстановка 51

Задание 7. 58

5. Метод оценки левой и правой частей уравнения. 59

Задание 8. 63

6. Введение вспомогательного аргумента. 64

Задание 9. 67

7. Системы тригонометрических уравнений. 68

Задание 10. 70

Задание 11. 72

Ответы.. 73

К заданию 1. 73

К заданию 2. 73

К заданию 3. 73

К заданию 5. 73

К заданию 6. 74

К заданию 7. 74

К заданию 9. 74

 

Тригонометрические уравнения

 

Метод разложения на множители

 

Пример 1. Решите уравнение .

 

Решение

 

Преобразуем уравнение. Применим формулу:

.

Получим уравнение: .

Это уравнение решим разложением на множители: .

Получим совокупность уравнений:

.

Ответ: .

 

Пример 2. Решите уравнение

 

Решение

Преобразуем уравнение:

- решений не имеет.

 

Ответ: .

Пример 3. Решите уравнение

 

Решение

 

Преобразуем уравнение. Применим формулы:

и .

Получим уравнение:

.

Получим совокупность двух уравнений:

(1) и (2) .

Уравнение (1) является однородным. В нем . В самом деле, если допустить противное, т. е., что , тогда, подставив его в уравнение (1), найдем, что и , что невозможно при одних и тех же значениях аргумента (в частности, не будет выполняться основное тригонометрическое тождество ). Итак, .

Разделим обе части уравнения (1) на , получим .

Решим второе уравнение:

.

 

Ответ: , .

 

Пример 4. Решите уравнение .

 

Решение

 

Преобразуем уравнение.

Уравнение примет вид:

.

 

Полученное уравнение равносильно совокупности уравнений:

 

Объединим полученные решения, если это возможно. Попробуем выработать общие принципы для объединения нескольких решений в одно.

Объединим два последних решения в одно: - это значит, что при четных значениях k из множества корней получаются корни , значит, являются общими решениями двух последних решений.

Далее, найдем общие решения .

, т. е. при нечетных значениях n из первого множества корней получаются корни , следовательно, - являются общими решениями трех полученных результатов.

 

Ответ: .

 

Пример 5. Решите уравнение .

 

Решение

 

Преобразуем уравнение

 

 

Ответ:

 

Пример 6. Решите уравнение

 

Решение

 

Преобразуем уравнение, для этого прибавим к левой части уравнения и вычтем, чтобы выражение не изменилось, произведение тогда уравнение примет вид

- это уравнение не имеет решений, так как

 

Ответ: .

 

Пример 7. Решите уравнение .

 

Решение

I-й способ

 

Левая часть этого уравнения представляет собой однородное выражение относительно и . Уравнение было бы однородным, если бы в правой части уравнения был нуль.

Для преобразования уравнения в однородное, правую часть представим в виде: .

, а затем все перенесем в левую часть и приведем подобные слагаемые:

 

II-й способ

 

Преобразуем уравнение. Перенесем 25 из правой части в левую и сгруппируем с первым членом, получим:

.

Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

 

Решая первое уравнение, находим: .

Второе уравнение является однородным первой степени,

Если допустить, что тогда подставив это значение в уравнение, получаем: . Но одновременно и не могут равняться нулю. Итак, Разделим на него обе части уравнения, получим:

 

Ответ: ,

 

Пример 8. Решите уравнение

 

Решение

Область допустимых значений переменной: .

Преобразуем уравнение:

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

 

Решение

Преобразуем разность синусов в произведение, получим

С учетом этого преобразования, уравнение примет вид

Ответ:

Пример 10. Решить уравнение

 

Решение

 

Преобразуем уравнение:

Получим совокупность уравнений:

 

 

Ответ:

 

Пример 11. Решить уравнение .

 

Решение

Преобразуем уравнение, используя формулу , получим:

.

Полученное уравнение равносильно совокупности уравнений:

 

Ответ:

 

Пример 12. Решить уравнение

 

Решение

Преобразуем уравнение:

Полученное уравнение равносильно совокупности уравнений:

Второе уравнение совокупности решений не имеет, поскольку

Первое уравнение решим как однородное. Разделим обе его части на в противном случае, из уравнения, получим, что и что невозможно). В результате деления на , приходим к уравнению:

 

Ответ:

 

Пример 13. Решите уравнение .

 

Решение

 

Преобразуем уравнение:

.

Это уравнение равносильно совокупности уравнений:

 

Ответ:

 

Пример 14. Решить уравнение .

 

Решение

 

Преобразуем уравнение: . Применим тождество преобразования суммы синусов в произведение: .

Учитывая, что cosx функция четная, получим: .

Уравнение примет вид: .

Это уравнение равносильно совокупности уравнений:

.

 

Ответ: .

 

Пример 15. Решите уравнение .

 

Решение

 

Преобразуем уравнение, применяя тождество понижения порядка

, получим:

 

Ответ:

 

 

Пример 16. Решите уравнение

.

Решение

Преобразуем произведение функций в сумму, получим

 

Ответ:

Пример 17. Решите уравнение

.

 

Решение

 

Преобразуем уравнение, применяя формулы приведения:

.

 

Ответ: .

 

Пример 18. Решите уравнение

 

Решение

 

Область допустимых значений:

Преобразуем уравнение, заменив 1 на и преобразуя разность синусов, в правой части уравнения, в произведение. Тангенс, заменим на частное от деления синуса на косинус.

 

 

Отсюда находим

 

Задание 1

Решите уравнения

27. . 28. .

29. .

30. 31. .

32. 33. .

34. . 35. .

36. . 37. .

 

Задание 2

 

Решите уравнения.

58. . 59. .

60. . 61. .

62. . 63. .

64. . 65. .

66. . 67. .

68. . 69. .

70. .

71. . 72. .

73. . 74. .

75.

 

3. Уравнения, однородные относительно и

 

Определение. Рассмотрим уравнение вида

 

где - действительные числа. В каждом слагаемом левой части уравнения (1) степени одночленов равны n, т. е. сумма степеней синуса и косинуса одна и та же и равна n. Такое уравнение называется однородным относительно и , а число n называется показателем однородности.

 

Ясно, что если , то уравнение примет вид:

решениями которого являются значения x, при которых , т. е. числа . Второе уравнение, записанное в скобках также является однородным, но степени на 1 ниже.

Если же , то эти числа не являются корнями уравнения (1).

При получим: , и левая часть уравнения (1) принимает значение .

Итак, при , и , поэтому можно разделить обе части уравнения на . В результате получаем уравнение:

которое, подстановкой легко сводится к алгебраическому:

.

 

1. Однородные уравнения с показателем однородности 1. При имеем уравнение .

Если , то это уравнение равносильно уравнению , ,

откуда .

 

Пример 76. Решите уравнение .

 

Решение

Это уравнение однородное первой степени . Разделим обе его части на получим: .

Ответ: .

 

Пример 77. При получим однородное уравнение вида

.

 

Решение

 

Если , тогда разделим обе части уравнения на , получим уравнение , которое подстановкой легко приводится к квадратному: . Если , то уравнение имеет действительные корни . Исходное уравнение будет иметь две группы решений: .

Если , то уравнение не имеет решений.

 

Пример 78. Решите уравнение .

 

Решение

 

Это уравнение однородное второй степени. Разделим обе чести уравнения на , получим: . Пусть , тогда , , . .

 

Ответ: .

 

3. К уравнению вида (1) сводится уравнение

 

 

Для этого достаточно воспользоваться тождеством

 

В частности, уравнение сводится к однородному, если заменить d на , тогда получим равносильное уравнение:

.

 

Пример 79. Решите уравнение .

 

Решение

 

Преобразуем уравнение к однородному:

.

Разделим обе части уравнения на , получим уравнение:

. Пусть , тогда приходим к квадратному уравнению: .

.

 

Ответ: .

 

Пример 80. Решите уравнение .

 

Решение

 

Возведем обе части уравнения в квадрат, учитывая, что они имеют положительные значения: ,

.

Пусть , тогда получим .

.

Ответ: .

 

Пример 81. Решите уравнение .

 

Решение

 

Возведем обе части уравнения в квадрат, учитывая, что они имеют положительные значения: ,

.

Получили однородное уравнение: .

Пусть ,

,

.

 

Ответ: , .

I-й способ

 

Преобразуем уравнение, используя формулы приведения, получим:

 

 

Получим совокупность уравнений:

 

Ответ:

 

II-й способ

 

Применим формулы приведения:

- это однородное уравнение второй степени, .

Разделим обе части уравнения на , .

Пусть tgx = t, тогда получим: .

, .

 

Ответ: ; .

 

Пример 84. Решить уравнение .

 

Решение

 

Преобразуем уравнение к однородному:

Полученное уравнение - однородное. Разделим обе части этого уравнения на (, ибо, в противном случае, из уравнения следует, что и , что невозможно, так как тогда не будет выполняться основное тригонометрическое тождество ). В результате деления на , получим: .

Положим , получим

Ответ:

 

Пример 85. Решить уравнение .

 

Решение

Это уравнение не является однородным. Перепишем его иначе:

. Умножим левую часть уравнения на 1, а точнее на её значение . После приведения подобных слагаемых имеем:

. Это однородное уравнение третьей степени относительно sinx и cosx, . Если cosx = 0, то из уравнения следует sinx=0, что невозможно.

Разделим обе части уравнения на , получим: .

Положим tgx = y, получим . Нетрудно заметить, что y = -1 является корнем уравнения. Разделим левую часть на y + 1, получим:

 

Уравнение примет вид: .

Уравнение не имеет корней, так как дискриминант трехчлена отрицателен. .

 

Ответ:

 

Пример 86. Решить уравнение .

Решение

 

I-й способ

 

Преобразуем уравнение:

;

- решений не имеет.

 

Ответ: .

 

II-й способ

 

Преобразуем уравнение: . Умножим левую часть уравнения на , получим: .

После приведения подобных слагаемых получим однородное уравнение третьей степени относительно sinx и cosx: , .

Разделим обе части уравнения на , получим: .

Пусть tgx = y, тогда - не имеет корней.

.

 

Ответ: .

 

Пример 87. Решить уравнение .

 

Решение

 

Преобразуем уравнение: ,

,

Умножим левую часть уравнения на , получим:

,

,

 

Последнее уравнение - однородное четвертой степени относительно sinx и cosx.

. Если допустить, что cosx = 0, тогда из уравнения следует sinx = 0, что невозможно. Разделим обе части уравнения на , .

Пусть , получим квадратное уравнение: ,

. - не удовлетворяет условию и является посторонним корнем.

 

Ответ: .

 

Задание 3

 

88. . 8 9. .

90. . 91. .

92. . 93. .

94. . 95. .

96. .

97. . 98. .

99. . 100. .

101. .

102. .

103. . 104. .

4. Для преобразования уравнений было использовано основное тригонометрическое тождество . Это тождество не только позволяет сводить некоторые уравнения к однородным, но и в некоторых случаях дает возможность найти более простые решения таких уравнений. Для этой цели используются тождества, получаемые с помощью основного тригонометрического тождества.

,

отсюда находим .

Далее,

.

Преобразуем сумму , используя формулу (4).

.

Выше приведенные формулы очень часто используются при решении тригонометрических уравнений, и не только однородных.

 

Пример 105. Решите уравнение

.

 

Решение

 

Преобразуем уравнение, используя формулу (4): , получим уравнение: .

Пусть приходим к квадратному уравнению:

,

 

Ответ: .

Пример 106. Решите уравнение

.

 

Решение

Преобразуем уравнение, используя формулу (4): , получим уравнение: ,

,

.

Уравнение 2 - sin2x = 0, sin2x = 2 не имеет решений.

Ответ: .

 

Пример 107. Решите уравнение .

 

Решение

 

Преобразуем уравнение, используя формулу: , получим:

.

 

Ответ: .

 

Пример 108. Решите уравнение .

 

Решение

 

Преобразуем уравнение, используя формулу: , получим:

.