Метод разложения на множители

 

Пример 1. Решите уравнение .

 

Решение

 

Преобразуем уравнение. Применим формулу:

.

Получим уравнение: .

Это уравнение решим разложением на множители: .

Получим совокупность уравнений:

.

Ответ: .

 

Пример 2. Решите уравнение

 

Решение

Преобразуем уравнение:

- решений не имеет.

 

Ответ: .

Пример 3. Решите уравнение

 

Решение

 

Преобразуем уравнение. Применим формулы:

и .

Получим уравнение:

.

Получим совокупность двух уравнений:

(1) и (2) .

Уравнение (1) является однородным. В нем . В самом деле, если допустить противное, т. е., что , тогда, подставив его в уравнение (1), найдем, что и , что невозможно при одних и тех же значениях аргумента (в частности, не будет выполняться основное тригонометрическое тождество ). Итак, .

Разделим обе части уравнения (1) на , получим .

Решим второе уравнение:

.

 

Ответ: , .

 

Пример 4. Решите уравнение .

 

Решение

 

Преобразуем уравнение.

Уравнение примет вид:

.

 

Полученное уравнение равносильно совокупности уравнений:

 

Объединим полученные решения, если это возможно. Попробуем выработать общие принципы для объединения нескольких решений в одно.

Объединим два последних решения в одно: - это значит, что при четных значениях k из множества корней получаются корни , значит, являются общими решениями двух последних решений.

Далее, найдем общие решения .

, т. е. при нечетных значениях n из первого множества корней получаются корни , следовательно, - являются общими решениями трех полученных результатов.

 

Ответ: .

 

Пример 5. Решите уравнение .

 

Решение

 

Преобразуем уравнение

 

 

Ответ:

 

Пример 6. Решите уравнение

 

Решение

 

Преобразуем уравнение, для этого прибавим к левой части уравнения и вычтем, чтобы выражение не изменилось, произведение тогда уравнение примет вид

- это уравнение не имеет решений, так как

 

Ответ: .

 

Пример 7. Решите уравнение .

 

Решение

I-й способ

 

Левая часть этого уравнения представляет собой однородное выражение относительно и . Уравнение было бы однородным, если бы в правой части уравнения был нуль.

Для преобразования уравнения в однородное, правую часть представим в виде: .

, а затем все перенесем в левую часть и приведем подобные слагаемые:

 

II-й способ

 

Преобразуем уравнение. Перенесем 25 из правой части в левую и сгруппируем с первым членом, получим:

.

Полученное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

 

Решая первое уравнение, находим: .

Второе уравнение является однородным первой степени,

Если допустить, что тогда подставив это значение в уравнение, получаем: . Но одновременно и не могут равняться нулю. Итак, Разделим на него обе части уравнения, получим:

 

Ответ: ,

 

Пример 8. Решите уравнение

 

Решение

Область допустимых значений переменной: .

Преобразуем уравнение:

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений: