Исследование системы линейных уравнений

Средства, которыми мы теперь располагаем, достаточны для того, чтобы обратиться к детальному анализу систем линейных уравнений. Пусть дана система

.

Введём в рассмотрение две матрицы: и .

Первая матрица составлена из коэффициентов при неизвестных в системе (1) и называется основной, а вторая получается из неё добавлением столбца свободных членов и называется расширенной матрицей системы (1). Обозначим строки матрицы через , а строки матрицы через . Поскольку строки матрицы являются «кусками» строк матрицы , совершенно очевидно, что любая линейная зависимость между строками матрицы влечёт за собой такую же точно зависимость между строками матрицы :

(2).

Очевидно, что уравнение вида (3), не имеет решения. Т.к. всякая система уравнений, которая имеет уравнение вида (3) или в которой при помощи элементарных преобразований можно получить такие уравнения, будет несовместна.

Теорема Кронекера-Капелли: (критерий совместности системы линейных уравнений) Системы линейных уравнений (1) совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы.

Доказательство: Приведём систему (1) к ступенчатому виду:

, ,

.

Тогда ступенчатые матрицы и соответственно будут основной и расширенной матрицами системы (4). Если система (4) несовместна, то это значит, что в ней имеется уравнение вида (3). Т.е. в матрице имеется строка, в которой все элементы, кроме , равны нулю; это значит, что число ненулевых строк в матрице будет на 1 больше, чем у матрицы . Так как матрицы ступенчатые, то ранги их равны числу строк, поэтому получаем, что ранг матрицы равен , а ранг равен . С другой стороны, если система (4) совместна, то в ней нет уравнения вида (3), т.е. матрица не имеет строки, в которой все элементы, кроме последнего, равны нулю, тогда число ненулевых строк в матрицах и будут совпадать, что говорит о равенстве рангов этих матриц. Так как элементарные преобразования не меняют множества решений системы и ранг матрицы, то можно сказать, что система (1) совместна тогда и только тогда, когда . Теорема доказана.

Глава VI. Теория определителей

Подстановки

 

Определение 1: Подстановкой множества , где называется инъективное отображение множества М на себя.

Другими словами, подстановкой из n элементов называется замена каждого элемента из множества М вполне определенным элементом из того же множества, причем так, что различные элементы заменяются различными элементами. Всякое отображение множества М на себя удобно записать в виде таблицы .

Порядок чисел в первой строке этой таблицы несуществен, его можно как угодно изменить. Однако надо следить за тем, чтобы для всякого число было записано непосредственно под . Например: или . Строки подстановки называются перестановками элементов множества .

Множество всех подстановок множества М обозначим через S _n; элементы этого множества называются подстановками степени п.

Произведение двух подстановок и множества М определяется как композиция отображений, и , т.е. их последовательное выполнение. Таким образом, по определению для .

Обозначим через тождественное отображение М на себя: для , т.е. .

Легко видеть, что для любой подстановки , т.е. является нейтральным элементом относительно умножения.

Если - подстановка множества М, то - также подстановка множества М и . При этом .

Теорема 1: Алгебра подстановок n -ой степени является группой.

Докажите самостоятельно.

Определение 2: Группа всех подстановок n- ой степени - называется симметрической группой степени . Тождественная подстановка называется единичным элементом этой группы.

Пусть дана подстановка множества , - элементы множества . Говорят, что числа образуют инверсию в строке подстановки, если , но стоит в этой строке раньше . Подстановка называется чётной, если суммарноечисло инверсий в обеих строках подстановки чётно, и нечётной в противном случае.

Так, например, в подстановке нет инверсий, она чётная, а в подстановке одна инверсия и она нечётная.

Если в любой строке подстановки любые два числа и поменять местами, то её чётность измениться на противоположную. Например, поменяем в подстановке 2 и 1 в нижней строке. Получим подстановку , в которой две инверсии, и она чётная.

Рассмотрим теперь частный, но важный случай подстановки. Назовем подстановку из чисел -членной циклической или - членным циклом, если она переводит в число , отличное от - в число , отличное от - в число , и - в исходное число , а прочие числа (при ) оставляет неизменными. Циклическая подстановка обычно обозначается символом .

Нетрудно убедиться, что всякую подстановку из чисел можно представить как произведение независимых циклов. Независимых в том смысле, что никакие два цикла разложения не имеют общих чисел.

Для наглядности обратимся к конкретному примеру.

или

 

Теорема 2: Разность P между степенью n подстановки числом s независимых циклов (включая и одиночные), на которые разлагается данная подстановка, имеет ту же четность, что и данная подстановка из элементов. Т. е.

Без доказательства.

Примеры: , = 6 – 3 = 3; значит подстановка - нечетна.

Обозначим через знак подстановки , тогда

.

Можно сказать, что , где , или , где и - числа инверсий в верхней и нижней строках подстановки .

Теорема 3: Произведение двух (или четного числа) подстановок одинаковой четности есть четная подстановка.

Теорема 4: Произведение двух подстановок различной четности есть нечетная подстановка.

Теоремы 3 и 4 желательно, но не обязательно, доказать самостоятельно.

Следствие: Подстановки и имеют одинаковую чётность.

Действительно, , а - чётная подстановка.

 

§ 2. Определители

Определение 1: Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Число строк (столбцов) квадратной матрицы называется её порядком. Диагональ, образованная элементами , называется главной диагональю.

Определение 2: Определителем (или детерминантом) n –го порядка квадратной матрицы А называется алгебраическая сумма всевозможных членов, представляющих собой произведение n элементов, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы со знаком, совпадающим со знаком подстановки образованной индексами элементов.

 

Если

,

то ее определитель обозначается

.

Примеры: Если , то и . Если , то , .

Если , то .

Предложение 1: Определитель матрицы с нулевой строкой (столбцом) равен нулю.

Квадратная матрица называется диагональной, если равны нулю все ее элементы, расположенные вне главной диагонали.

Предложение 2: Определитель диагональной матрицы равен произведению элементов ее главной диагонали.

Квадратная матрица называется треугольной, если равны нулю все ее элементы, расположенные выше (ниже) главной диагонали.

Предложение 3: Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.

 

Свойства определителей

1. Значение определителя порядка не изменится, если его строки заменить столбцами, сохраняя порядок следования.

Операция замены в определителе строк столбцами с сохранением порядка следования называется транспонированием определителя. Таким образом, в свойстве 1 утверждается, что от транспонирования значение определителя не изменится.

Доказательство: Нам надо показать, что определители

равны.

Пусть (1) – произвольный член определителя . Очевидно, что элементы члена (1) будут также находиться по одному и только по одному в каждой строке и каждом столбце определителя . Следовательно, (1) есть вместе с тем и член определителя . Аналогично, каждый член определителя является членом и определителя . Далее, если снова (1) – член определителя , то этот член входит в определитель со знаком , где - число инверсий в строках подстановки . В определителе знак члена (1) совпадает со знаком подстановки . Но . Откуда следует, что .

Это свойство иногда называют свойством равноправности строк и столбцов определителя.

2. Определитель n –го порядка, у которого две строки (два столбца) одинаковы, равен нулю.

Доказательство: Пусть у определителя n –го порядка одинаковы -я и -я строки:

, .

Возьмем произвольный член определителя

(2).

Знак этого члена равен (-1)^t, где t – число инверсий в подстановке . Наряду с членом (2) рассмотрим член (4)

того же определителя. Член (3) равен члену (2), так как в силу совпадения -я и -я строк .

Однако член (3) входит в определитель со знаком, противоположным знаку члена (2). Действительно, знак члена (4) равен , где - число инверсий в подстановке

,

которая получается из подстановки перестановкой чисел и в нижней строке. Чётности перестановок и противоположны. Следовательно, t и – числа различной четности и потому знак противоположен знаку .

Поскольку члены (2) и (3) равны, но имеют противоположные знаки, они должны в определителе уничтожаться. Таким образом, получается попарное уничтожение всех членов определителя, вследствие чего .

Справедливость свойства 2 для столбцов следует из равноправности строк и столбцов определителя.

3. Если все элементы какого-нибудь столбца (строки) определителя n –го порядка умножить на одно и то же число m, то значение определителя умножится на m.

Доказательство: Умножим, например, элементы -го столбца определителя -го порядка на . Тогда элементы этого столбца превратятся в . Если до умножения каждый член определителя имел вид: , то после умножения он примет вид: , т.е. умножится на . Что касается знака, то до и после умножения член должен иметь один и тот же знак , где - число инверсий в подстановке .

4. Если все элементы какого-нибудь столбца (строки) определителя n –го порядка обладают общим множителем, то его можно вынести за знак определителя.

Пример:

Здесь вынесли за знак определителя общий множитель 2 элементов третьего столбца.

Свойство 4 непосредственно вытекает из свойства 3.

5. Определитель п –го порядка, у которого элементы двух строк (столбцов) соответственно пропорциональны, равен нулю.

Доказательство: Пусть, например, пропорциональны -я и -я строки определителя . Это значит, что каждый элемент -й строки отличается от соответствующего элемента -й строки на один и тот же множитель , т.е. определитель выглядит так:

Если теперь на основании свойства 4 вынести общий множитель за знак определителя, то получится определитель с двумя одинаковыми строками. Такой определитель согласно свойству 2 равен нулю.

6. Пусть каждый элемент -й строки (столбца) определителя n –го порядка есть сумма двух слагаемых. Тогда определитель равен сумме двух определителей того же порядка, причем в одном определителе -я строка (столбец) состоит из первых слагаемых, а в другом – из вторых слагаемых. Остальные строки (столбцы) того и другого определителя те же, что и в определителе .

Доказательство: Пусть в определителе

каждый элемент -й строки есть сумма двух слагаемых: .

Обратимся к произвольному члену определителя: . Он имеет знак знака подстановки . Раскроем скобки; тогда наш член распадается на два члена:

Но произведение есть член определителя и входит в него со знаком, определяющимся подстановкой . Произведение есть член определителя и входит в него с таким же знаком. Отсюда справедливость свойства 6 становится очевидной: , где

, .

Пользуясь методом математической индукции, нетрудно свойство 6 распространить на случай любого числа слагаемых.

7. Определитель n –го порядка не меняет своего значения от прибавления ко всем элементам какой-нибудь строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.

Доказательство: Прибавим к элементам -й строки определителя соответствующие элементы -й строки того же определителя, умноженные на число . Имеем:

Мы видим, что каждый элемент -й строки определителя является суммой двух слагаемых. Отсюда по свойству 6

.

Первый определитель этой суммы есть , а второй равен нулю, так как у него две строки пропорциональны. Следовательно, , что и требовалось показать.

Свойство 7, как мы увидим впоследствии, значительно упрощает вычисление определителей.

8. Если поменять местами две строки (столбца) определителя n –го порядка, то определитель изменит знак на противоположный, а по абсолютной величине не изменится.

Доказательство: Подвергнем определитель

следующим преобразованиям. Прибавим к его -й строке -ю. Получим:

.

В определителе из - й строки вычтем -ю строку. Получим:

.

Наконец, прибавим в определителе к -й - ю. Получим: .

Все эти преобразования по свойству 7 не изменяют значения определителя. Следовательно ,

что и требовалось доказать.