Разложение определителей по элементам строки и столбца.

Рассмотрим, какую роль играют определители n –го порядка в решении системы n линейных уравнений с n неизвестными и вычислении обратной матрицы. Предварительно докажем следующие две теоремы.

Теорема 1: Какую бы строку (столбец) определителя n –го порядка мы ни взяли, определитель всегда равен сумме произведений элементов этой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Иными словами, имеет место такое разложение определителя по элементам строки или столбца:

(1) или

(2).

Доказательство: В силу свойства равноправности строк и столбцов можно ограничиться выводом разложения (1). По свойству 6, (§ 3)

по теореме 2 (из предыдущего параграфа). Что и требовалось доказать.

Пример:

Теорема 2: Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) определителя равна нулю.

Иными словами: ,

.

Кроме данного определителя рассмотрим вспомогательный , у которого -я и -я строки одинаковы, а все строки, за исключением -й и -й, совпадают с соответствующими строками определителя .

Он по свойству 3 из § 3 равен 0, с другой стороны, разлагая по элементам - й строки, получим: (3) ,

где - алгебраические дополнения элементов -й строки определителя . При составлении алгебраического дополнения мы вычеркиваем в -ю строку (и -й столбец), т.е. вычеркиваем единственную строку, отличающую от .Следовательно, , где - алгебраическое дополнение элемента -й строки определителя . Таким образом, равенство (3) принимает следующий окончательный вид:

Справедливость теоремы для столбцов очевидна в силу свойства равноправности строк и столбцов.

Обратная матрица

 

Определение 1: Квадратная матрица называется вырожденной (или особенной), если ее определитель равен нулю, и невырожденной (или неособенной), если ее определитель отличен от нуля.

Произведение матриц, хотя бы одна из которых вырожденная, вновь вырожденная матрица.

Роль единицы в умножении матриц играет единичная матрица , причем она перестановочная с любой матрицей данного порядка, (доказывается это равенство непосредственным применением правила умножения матриц).

Рассмотрим вопрос о существовании для данной матрицы обратной матрицы. Ввиду некоммутативности умножения матриц, мы будем говорить о правой обратной матрице, т.е. о такой матрице , что произведение матрицы справа на эту матрицу дает единичную матрицу

(1).

Если матрица вырожденная, то если бы матрица существовала, произведение, стоящее в правой части равенства (2), было бы, как мы знаем, вырожденной матрицей, в то время как на самом деле матрица , стоящая в правой части этого равенства, является невырожденной, т.к. ее определитель равен единице. Таки образом, вырожденная матрица не может иметь правой обратной матрицы. Такие же соображения показывают, что она не имеет и левой обратной и поэтому для вырожденной матрицы обратная матрица вообще не существует.

Рассмотрим случай с невырожденной матрицей; для этого введем следующие вспомогательные понятия. Пусть дана матрица -го порядка

и .

Матрица составлена из алгебраических дополнений к элементам матрицы , причем алгебраическое дополнение к элементу стоит на пересечении -й строки и -го столбца. Эту матрицу назовем присоединенной матрицей к матрице .

Найдем произведения и . Используя известную теорему о разложении определителя по строке или столбцу, а также теорему о сумме произведений элементов любой строки или столбца на алгебраические дополнения к соответствующим элементам другой строки или столбца и обозначая через определитель матрицы .

, мы получим:

(2).

Отсюда вытекает, что если матрица невырожденная, то ее присоединенная матрица также будет невырожденной, причем определитель матрицы равен -й степени определителя матрицы . В самом деле, из равенства (2), если перейдем к определителям, то получим: , откуда ввиду .

Теперь легко доказать существование обратной матрицы для всякой невырожденной матрицы и найти ее вид. Заметим сначала, что если мы рассмотрим произведение двух матриц и все элементы одного из множителей, например , разделим на одно и то же число , то все элементы произведения также разделятся на это число: для доказательства нужно лишь вспомнить определение умножения матриц. Таким образом, если , то из равенства (2) вытекает, что обратной для матрицы будет служить матрица, получающаяся из присоединенной матрицы делением всех ее элементов на число :

.

Действительно, из (2) вытекают равенства (3).

Можно показать, что определяется однозначно.

Пример: , , .

 

= = E

 

Правило Крамера

 

Рассмотрим систему (4) n линейных уравнений с n неизвестными. Составим определитель из коэффициентов при неизвестных системы (4); его называют определителем системы. Покажем, как при помощи теоремы 1 и теоремы 2 можно решить при систему уравнений

(4) .

Перейдём к матричной записи системы (4): (5), где , , .

Если , то существует обратная матрица . Покажем, что матрица - единственное решение системы (4). Действительно,

,

т.е. - решение уравнения (5), а значит и системы (4).

Если - какое – то решение уравнения (5), то . Тогда .

Следовательно, матрица - единственное решение уравнения (5) и системы (4).

Наряду с определителем рассмотрим определители , где получается из заменой - го столбца столбцом из свободных членов: . Раскладывая определитель , , по - му столбцу, получаем:

. Выясним, как же выглядит матрица . Так как , тогда

.

Тогда . Эти формулы называют формулами Крамера.

Таким образом, мы доказали теорему:

Теорема: Если определитель системы линейных уравнений с неизвестными отличен от 0, то система имеет единственное решение, выражаемое формулами: .