Разложение функции по базису

 

. (0.12)

Спектр непрерывный

. (0.13)

 

Совпадение спектров функций означает равенство функций.

 

Доказательство

Подставляем (0.12) в (0.13)

 

.

 

Меняем порядок интегрирований по x и k, считая интегралы существующими. Используем условие ортонормированности и фильтрующее свойство дельта-функции

 

.

 

Полученное тождество доказывает формулу (0.13).

Условие полноты базиса

 

. (0.14)

 

Проверить самостоятельно, что подстановка (0.13) в (0.12) с учетом (0.14) дает тождество.

 

Теорема Парсеваля

. (0.15)

 

Доказать самостоятельнос помощью (0.11) и (0.12), или с помощью (0.13) и (0.14).

 

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

 

Древнегреческий математик Аполлоний Пергский представил сложное движение планеты от греч. πλανήτης – «блуждающая», совершающей неравномерное и иногда даже возвратное движение по небу, в виде суммы равномерных вращений по окружностям – эпициклам в III в до н.э.

 

 

Аполлоний Пергский – (ок. 262 – ок. 190 до н.э.)

 

Проекция равномерного вращения по окружности описывается гармоническими функциями – синусом, косинусом и экспонентой с мнимым показателем. Идея Аполлония через 2 тысячи лет была применена к функциям французским математиком Жаном Фурье. Он разложил функцию по гармоническим составляющим в 1807 г., и это называется преобразованием Фурье.

 

 

Жан Батист Жозеф Фурье (1768–1830)

 

Результаты Фурье получим путем использования ортонормированного базиса гармонических функций.

 

Бесконечномерный базис гармонических функций

, ; .

 

Орт является решением волнового уравнения Гельмгольца

 

,

и описывает плоскую волну

 

,

 

распространяющуюся вдоль оси x с волновым число k.

 

 

Герман Гельмгольц (1821–1894)

 

Базис с непрерывным спектром удовлетворяет:

условию ортонормированности

 

,

и условию полноты

.

Интегрирование выполнено при помощи формул, которые будут доказаны в разделе «Дельта-функция».

 

Преобразование Фурье функции является ее разложением по базису , спектр функции выражает обратное преобразование:

, (1.1)

 

. (1.2)

Использовано:

– оператор Фурье, действующий на функцию с аргументом x, находящуюся в скобках , и дающий функцию, зависящую от k;

– оператор обратного преобразования Фурье, действующий на функцию с аргументом k, находящуюся в скобках , и дающий функцию, зависящую от x;

– Фурье-образ или спектр функции ;

k и x – Фурье-сопряженные переменные, – безразмерная;

– ядро преобразований, не зависящее от преобразуемой функции.

 

Преобразование Фурье технически реализует, например, колебательный контур входного каскада радиоприемника, или телевизора. Выделенная полоса спектра далее усиливается. Рассмотрим примеры преобразования Фурье, использующие оптические устройства.

 

Оптическое преобразование Фурье

 

Анализатор частот функции, Анализатор волновых чисел