Фурье-образ произведения непрерывных функций равен свертке их фурье-образов

,

 

. (1.26)

 

Доказательство

Выполняем фурье-преобразование (1.25)

 

 

и используем интегральную теорему (1.20)

 

.

Теорема о дифференцировании

 

При каждом дифференцировании функции ее Фурье-образ умножается на

. (1.35)

Доказательство

Формулу (1.2)

,

дифференцируем n раз

.

Сравниваем результат с (1.2) – для функции получаем Фурье-образ .

Умножение функции на

 

Умножение функции на приводит к дифференцированию ее фурье-образа

,

. (1.37)

Доказательство

Дифференцируем (1.1)

,

получаем

.

 

Сравниваем результат с формулой (1.1), записанной для функции , и получаем .

Преобразование периодическОЙ функциИ

Функция с периодом L удовлетворяет

 

.

 

 

Спектр периодической функции дискретный. Такая функция разлагается по ортонормированному базису гармонических функций с периодами , где В акустике составляющая с называется основным тоном, составляющие с называются обертонами.

 

Базисы Фурье комплексных периодических функций

Условию периодичности

 

,

 

с периодом удовлетворяют комплексные функции

 

,

Доказательство

Выполняется

,

где учтено

,

 

,

 

Получаем базисы:

 

· , , с периодом .

 

Замена аргумента дает

 

· : , , с периодом L,

 

· : , , с периодом ,

 

где множитель перед экспонентой обеспечивает нормировку функции.

 

Базисы Фурье вещественных периодических функций

Для функции с периодом

,

 

Для четной функции с периодом

 

,

 

Для нечетной функции с периодом

 

,

Ортонормированность базисов

 

Дискретный базис функций , где , с периодом L ортонормирован, если

.

Частные случаи:

 

1. ,

 

,

где использовано:

;

 

, при ;

 

.

 

2. ,

 

, (1.43)

где сделана замена

,

 

и учтено, что интеграл по периоду функции не зависит от выбора нижнего предела.

 

3. ,

 

, (1.44)

где сделана замена

.

 

4. Доказать самостоятельно:

 

,

 

,

 

. (1.45)

 

 

5. ,

 

,

 

. (1.46)

Разложение в ряд Фурье комплексной периодической функции

 

Для функции с периодом L используем ортонормированный базис гармонических функций с периодом L

 

, ,

удовлетворяющих

.

 

Разлагаем в ряд Фурье

 

. (1.48)

 

Ищем коэффициенты разложения .

Умножаем (1.48) на и интегрируем

 

,

 

где переставлено суммирование и интегрирование. С учетом (1.43)

 

находим

.

 

Переобозначаем , и для периодической функции получаем

 

. (1.49)

 

Спектр периодической функции

 

Разложение (1.48)

 

подставляем в преобразование Фурье (1.1)

 

.

 

Переставляем суммирование и интегрирование

 

.

Используем (2.24)

,

 

получаем спектр периодической функции

 

. (1.47)

 

Периодическая функция с периодом L имеет дискретный спектр с периодом в виде модулированной гребенчатой функции.

 

 

Теорема о дифференцировании

 

Разложение (1.48)

,

дифференцируем m раз

.

 

Результат сравниваем с разложением (1.48) для функции , получаем , тогда

. (1.50)

 

Разложение в ряд Фурье вещественной периодической функции

 

Вещественная функция с периодом L удовлетворяет

 

,

 

.

Из (1.49)

.

 

Выполняем комплексное сопряжение

 

,

 

Результат сравниваем с (1.49) и находим

 

.

Из (1.48)

получаем

, (1.53)

где учтено

,

 

.

Заменяем

,

где

,

 

.

Используем

.

 

Получаем разложение функции вряд Фурье

 

. (1.54)

Из (1.49)

,

находим коэффициенты

,

 

,

. (1.54а)