Понятие матрицы. Линейные операции над матрицами. Произведение матриц. Транспонирование матриц.

Понятие матрицы. Прямоугольную таблицу чисел из множества.Матрица -прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов.

(1)

назовем матрицей. Матрицы обозначаются латинскими буквами A, B, C, D,…

Матрица A называется квадратной, если . В общем случае матрица называется прямоугольной с размерами или прямоугольной матрицей и обозначается . Числа в (1) называются ее элементами, причем в записи элемента первый индекс всегда указывает номер строки, а второй – номер столбца; элементы образуют -ую строку, а элементы – -тый столбец. В связи с этим для обозначения матрицы (1) будем употреблять запись . Если А – квадратная матрица порядка n, то будем писать .

В математической литературе для записи матрицы (1) используют также квадратные скобки или двойные черты .

Матрицы A и B называются равными , если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны .

Прямоугольную матрицу, состоящую из одного столбца

,

называют столбцовой (матрицей-столбцом) и обозначают так: (символ «» в обозначении, если это не создает недоразумений будем опускать); прямоугольную матрицу, состоящую из одной строки назовем строчной (матрицей-строкой).

Если все элементы матрицы нулевые, то матрица называетсянулевой, ее будем обозначать О. Трапециевидной называют матрицу вида

.

Главной диагональю квадратной матрицы называют совокупность ее элементов , а побочной диагональю или просто диагональю – . Матрица D, у которой все элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю,

называется диагональной и обозначается так: .

В случае диагональная матрица называется единичной и обозначается (или ).

Если в квадратной матрице все элементы, расположенные с одной стороны от главной диагонали, нули, то она называется треугольной. При этом различают верхнюю треугольную и нижнюю треугольную матрицы:

.

Если элементами матрицы являются функции, то ее называют функциональной.

Действия над матрицами.

Суммой двух матриц и одинаковых размеров называется матрица тех же размеров, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц A и B:

. (2)

Для обозначения суммы матриц A и B используют запись A + B. Операция нахождения суммы данных матриц называется сложением матриц.

Например,

.

Таким образом, можно складывать матрицы только одинаковых размеров.

Из определения сложения матриц и соответствующих свойств сложения действительных чисел вытекает, что эта операция обладает переместительным и сочетательным свойствами:

1) ,

2) ,

где A, B, C – произвольные матрицы одинаковых размеров.

Очевидно, что операцию сложения матриц можно распространить на случай любого числа слагаемых.

Произведением матрицы на число называется матрица , каждый элемент которой есть произведение соответствующего элемента матрицы A и числа : , т.е.

. (3)

Операция нахождения произведения матрицы на число называется умножением матрицы на число.

Например,

.

Из определения (3) произведения матрицы на число вытекают следующие свойства:

1) ,

2) ,

3) .

Здесь – матрицы одинаковых размеров, а – числа из .

Разностью двух матриц и одинакового размера назовем матрицу такого же размера, которая получается с помощью правила

. (4)

Из равенств (4), (3), (2) следует, что каждый элемент матрицы есть разность соответствующих элементов матриц A и B, т.е. , .

Произведением двух матриц

называется матрица

,

у которой каждый элемент , стоящий на пересечении i -той строки
и j -го столбца, равен сумме произведений элементов i -той строки матрицы A на соответствующие элементы j -того столбца матрицы B:

, . (5)

Таким образом, . Операция нахождения произведения данных матриц называется умножением матриц.

Например:

Отметим, что операция умножения двух матриц выполнима тогдаи только тогда, когда число столбцов в первом сомножителе равно числу строк во втором.

Используя определение (5), без труда проверяется сочетательное свойство умножения матриц, а также распределительное свойство умножения относительно сложения:

1) ,

2) ,

3) .

Операцию умножения матриц можно распространить на случай более двух сомножителей.

Заметим, что умножение AB всегда выполнимо, если сомножители A и B квадратные матрицы одного и того же порядка. Обратим внимание, что умножение матриц не обладает переместительным (коммутативным) свойством. Действительно, например, для матриц

имеем

.

Если , то матрицы и называются перестановочными или коммутирующими между собой.

Отметим также, что диагональная матрица , у которой все диагональные элементы – равные числа, т.е. , коммутирует с любой квадратной матрицей , в частности

. (6)

Из формулы (6) вытекает, что при умножении матриц единичная матрица и нулевая выполняют ту же роль, что числа 1 и 0 при умножении действительных чисел.

Заметим, что в отличие от чисел, произведение двух ненулевых матриц может дать нулевую матрицу.

Например, в случае

получаем

.

Введем еще одну важную операцию над матрицей – транспонирование матрицы. Пусть задана матрица A размеров вида (1). После замены строк одноименными столбцами получим матрицу размеров , которая называется транспонированной к заданной:

.

Число строк транспонированной матрицы равно числу столбцов матрицы , а число столбцов – числу строк матрицы .

Операция нахождения матрицы называется транспонированием матрицы, и для нее имеют место следующие свойства:

1) ,

2) ,

3) ,

4) .

Если квадратная матрица совпадает со своей транспонированной, т.е. , то такая матрица называется симметрической.

Матрицу , для которой , называют кососимметрической. Легко видеть, что в кососимметрической матрице все элементы главной диагонали нули.

Например,

.