Решение однородных систем линейных уравнений.

Однородная система уравнений

(1)

есть частный случай системы (10.1). Легко видеть, что система (1) всегда имеет нулевое решение , и поэтому она совместна. Нулевое решение является единственным тогда, когда ранг матрицы системы равен количеству неизвестных n. В частности, это справедливо для невырожденной системы n уравнений с n неизвестными. Если ранг матрицы А системы (1) меньше n, то однородная система (1) будетиметь ненулевые решения. Например, однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имеет ненулевые решения в том случае, если она вырождена.

18. Понятие вектора. По аналогии со школьным курсом геометрии дадим геометрическое толкование вектора, как направленного отрезка (п. 1.1⁰) на плоскости или в пространстве.

Связанным вектором с началом в точке А и концом в точке В называют направленный отрезок АВ, в котором точка А является началом, а точка В – концом. Начало вектора называют еще точкой его приложения.

Векторы также обозначают одной буквой с чертой над ней, например, . Направление вектора на рисунке указывают стрелкой (рис. 1).

Рис. 1

Если для направленного отрезка АВ фиксируются только длина и направление (при произвольности его положения на плоскости и в пространстве), то он называется свободным вектором.

Длина отрезка АВ называется также длиной вектора . Вектор нулевой длины называется нулевым и обозначается или просто 0.

Векторы и называются коллинеарными (параллельными), если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых, при этом пишут .

Векторы и называются одинаково направленными, если полупрямые и одинаково направлены, и противоположно направленными, если эти полупрямые противоположно направлены.

Отметим, что коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково (сонаправлены, см. рис. 2б)) или противоположно направлены (см. рис. 2а)).

Векторы и называются равными (), если выполнены два условия:

а) ;

б) и одинаково направлены.

Рис. 2а) Рис. 2б)

Векторы, имеющие противоположные направления и равные длины, называются противоположными. Вектор, противоположный вектору , обозначается . На рис. 2а) изображены противоположные, а на рис. 2б) – равные векторы и .

Из определения равенства векторов следует, что каков бы ни был вектор и точка О, всегда можно построить единственный вектор с началом в точке О, равный вектору , или, как говорят, отнести начало вектора к точке О
(см. рис. 3). Такие векторы в аналитической геометрии называют свободными: их можно отнести к общему началу. Проекция вектора на ось. Пусть в пространстве заданы ось и некоторый вектор . Проведем через точки А и В плоскости, перпендикулярные данной оси и обозначим через и точки пересечения этих плоскостей с осью (рис.4). В общем случае векторырасположены на скрещивающихся прямых. Для наглядности изображений далее, как правило, будут рассматриваться рисунки на плоскости.

Рис. 4 Рис. 5а) Рис. 5б)

Проекцией вектора на ось называется величина на оси , которая обозначается .

Согласно пункту 1.1⁰, имеем: , если направление совпадает с направлением оси ; , если направление противоположно направлению оси .

Покажем, что имеет место равенство

, (1)

где – угол между вектором и положительным направлением оси .

19. Координаты вектора. Пусть в пространстве задана декартова система координат и произвольный вектор . Обозначим: и назовем эти числа (проекции вектора на оси координат) координатами вектора . Будем писать (символ для краткости, как правило, далее опускаем).

Докажем, что для любых точек и координаты вектора определяются формулами:

. (2)

Длина вектора. Рассмотрим произвольный вектор считая, что его начало совпадает с началом координат . Пусть вектор не лежит ни в одной координатной плоскости.

Рис. 7

Через точку А проведем плоскости, которые перпендикулярны осям координат и вместе с координатными плоскостями образуют прямоугольный параллелепипед, диагональю которого будет отрезок ОА (рис. 7).

Известно, что квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений, т.е.

.

Но

Тогда имеем или

. (3)

Формула (3) выражает длину вектора через его координаты и справедлива и в том случае, если вектор будет лежать в какой-либо координатной плоскости (тогда в (3) одна из координат будет равна нулю).

Пример 1. Даны две точки и Найти расстояние между ними.

Решение. Определим расстояние между точками А и В, как длину вектора

. □ (4)

Направляющие косинусы вектора. Обозначим через углы между вектором и осями координат (рис.7). Из формул (1) и (3) получаем:

(5)

Числа называются направляющими косинусамивектора .

Возводя в квадрат каждое из равенств (5) и складывая полученные результаты, получим

(6)

т.е. сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна единице.

20.Линейными операциями над векторами называют операции сложения векторов и умножения вектора на число.

Пусть даны два вектора и . Суммой называется вектор, который имеет началом начало вектора и концом – конец вектора при условии, что начало вектора совпадает с концом вектора (или диагональ параллелограмма, построенного на векторах и ).

Отсюда следует, что сумму неколлинеарных векторов и можно найти по правилу треугольника (рис. 8а)) или параллелограмма (рис. 8б)).

Рис. 8а) Рис. 8б)

По определению суммы двух векторов можно найти сумму любого числа заданных векторов. В частности, пусть заданы три вектора и . Сложив и , получим вектор Прибавив к нему вектор , получим вектор

Разностью векторов и называется вектор , который в сумме с вектором дает вектор .

Пусть даны вектор и число Произведением называют вектор, который коллинеарен вектору , имеет длину, равную , и направление такое же, как и вектор , если , и противоположное, если (рис. 9). Если среди сомножителей есть 0, то под произведением понимается нулевой вектор.

Рис. 9

Геометрический смысл операции умножения вектора на число следующий: если , то при умножении вектора на число вектор «растягивается» в раз, а если – «сжимается» в раз. На рис. 9 изображен случай .

Утверждение 1. Если векторы и коллинеарны и , то существует единственное число , что .