Система m линейных уравнений с n неизвестными. Метод Гаусса.

Таким образом, процесс решения системы линейных алгебраических уравнений по методу Гаусса состоит из двух этапов. Первый этап (прямой ход метода) – система приводится к треугольному виду.Второй этап (обратный ход) – неизвестные определяются последовательно, начиная с последнего неизвестного и кончая первым.

Пример 2.13. Решить систему уравнений методом Гаусса:

x + y - 3z = 2,

3x - 2y + z = - 1,

2x + y - 2z = 0.

Решение. Выпишем расширенную матрицу данной системы

и произведем следующие элементарные преобразования над ее строками:

а) из ее второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 3 и 2:

~ ;

б) третью строку умножим на (-5) и прибавим к ней вторую:

.

В результате всех этих преобразований данная система приводится к треугольному виду:

x + y - 3z = 2,

-5y + 10z = -7,

- 10z = 13.

Из последнего уравнения находим z = -1,3. Подставляя это значение во второе уравнение, имеем y = -1,2. Далее из первого уравнения получим
x = - 0,7.

8. Система линейных однородных уравнений.

Пусть дана система линейных однородных уравнений

Очевидно, что однородная система всегда совместна , она имеет нулевое (тривиальное) решение x1=x2=x3=...=xn=0.

Для того, чтобы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг r ее основной матрицы был меньше числа n неизвестных, т. е. r<n.

Необходимость:

Так как ранг не может превосходить размера матрицы, то, очевидно, r n. Пусть r=n. Тогда один из минеров размера nхn отличен от нуля. Поэтому соответствующая система линейных уравнений имеет единственное решение:

Значит, других, кроме тривиальных, решений нет. Итак, если есть нетривиальное решение, то r<n.

Достаточность:

Пусть r<n. Тогда однородная система, будучи совместной, является неопределенной. Значит, она имеет бесчисленное множество решений, т. е. имеет и ненулевые решения. Пусть дана однородная система n линейных уравнений с n неизвестными

Для того, чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель D был равен нулю, т. е. D=0.

Если система имеет ненулевые решения, то D=0. Ибо при D¹0 система имеет только единственное, нулевое решение. Если же D=0, то ранг r основной матрицы системы меньше числа неизвестных, т.е. r<n. И, значит, система имеет бесконечное множество (ненулевых) решений.