Вектор. n-мерное векторное пространство. Линейные операции над векторами.

Вектором называется направленный отрезок. Если начало вектора находится в точке А, а конец – в точке В, то вектор обозначается АВ. Если же начало и конец вектора не указываются, то его обозначают строчной буквой латинского алфавита a, b, c,…. Через BA обозначают вектор, направленный противоположно вектору АВ. Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым и обозначается ō. Его направление является неопределенным.

Алгебраический подход

В линейной алгебре вектор — это элемент векторного пространства (или иначе: линейного пространства). Векторы можно складывать и умножать на число. Вектор также можно представить в виде линейной комбинации других векторов. Базис — это линейно независимая совокупность векторов, которая порождает всё пространство. В конечномерном пространстве существует конечный базис, и тогда любой вектор пространства может быть единственным образом представлен в виде разложения вида

где — это базис, а — координаты вектора в заданном базисе.

Геометрический подход

Понятие вектор в геометрии отлично от определяемого в алгебре. Различают понятие свободного и связанного (приложенного, закреплённого) вектора.

Связанный вектор или направленный отрезок — упорядоченная пара точек евклидова пространства.

Свободный вектор — класс эквивалентности направленных отрезков.

При этом два направленных отрезка считаются эквивалентными, если они:

· коллинеарны

· равны по длине

· одинаково направлены (сонаправлены)

Векторное пространство Векторное пространство называют. n-мерным (или имеет «размерность n»), если в нём существуют n линейно независимых элементов , ,... , а любые n+1 элементов линейно зависимы. Векторное пространство называют бесконечномерным, если в нём для любого натурального n существует n линейно независимых векторов. Любые n линейно независимых векторов n-мерного векторного пространства образуют базис этого пространства. Если , ,... - базис векторного пространства, то любой вектор x этого пространства может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов:

x = + +... + .

При этом числа , ,..., называют координатами вектора x в данном базисе.

Линейными операциями над векторами называется сложение и умножение на число.

1) умножение вектора на число (Произведением вектора a и числа α называется вектор, обозначаемый α∙a. (или наоборот a∙α), модуль которого равен |α a| =|α||a|, а направление совпадает с направлением вектора a, если α>0, и противоположно ему, если α< 0.

Из определения произведения вектора на число легко вывести следующие свойства:

1. если , то . Наоборот, если , то при некотором λ верно равенство ;

2. всегда °, то есть каждый вектор равен произведению его модуля на

2) cуммой + двух векторов и называется вектор , который идет из начала вектора в конец вектора при условии, что вектор приложен к концу вектора (правило треугольника). В случае неколлинеарных векторов и можно вместо правила треугольника использовать правило параллелограмма: если векторы и отложены от общего начала и на них построен параллелограмм, то сумма + есть вектор, совпадающий с диагональю этого параллелограмма, идущего из общего начала и .