ВОПРОС №18: Вертикальные и наклонные асимптоты

Асимптота - это прямая к которой график будет приближаться, но никогда её не пересечёт...она проходит параллельно оси у или х.

Вертикальные асимптоты

1. Линия задана уравнением y = f(x). Если , то x = a –

вертикальная асимптота. В частности, если , то x = a –

вертикальная правосторонняя асимптота; если же , то x = a - вертикальная левосторонняя асимптота.

2. Линия задана уравнениями x = x(t), y = y(t). Если , , то x = a - вертикальная асимптота. В частности,

если , , то x = a - вертикальная правосторонняя

асимптота; если же , , то x = a - вертикальная левосторонняя асимптота.

Вертикальная асимптота — прямая вида при условии существования предела.

Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например:

1.

2.

Наклонные асимптоты
1. Линия задана уравнением y = f(x).

Если , то прямая y = kx + b - наклонная асимптота.

При этом

Если , то прямая y = kx + b - наклонная асимптота

вправо,

Если , то прямая y = kx + b - наклонная асимптота

влево,

1. Линия задана уравнениями x = x(t), y = y(t).

Если (a - конечное число либо один из символов() и линия обладает асимптотой y = kx + b,

то

Наклонная асимптота — прямая вида при условии существования пределов

1.

2.

Замечание: функция может иметь не более двух наклонных(горизонтальных) асимптот!

Замечание: Если хотя бы один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен ), то наклонной асимптоты при (или ) не существует!

ВОПРОС№19: Определение и основные теоремы о непрерывных функциях.

Определение: Функция f(x), определённая в окрестности точки х0, называется непрерывной в этой точке, если существует её передел в этой точке и выполнено равенство:

Теорема (о знаке непрерывной функции). Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0 и непрерывна в этой точке. Пусть . Тогда в некоторой окрестности этой точки .

Теорема (о непрерывности суммы, разности, произведения и частного функций).Пусть функции определены в некоторой окрестности точки и непрерывны в этой точке. Тогда в этой точке непрерывна их сумма, разность, произведение. Если , то непрерывна в точке будет частное .

Теорема (о предельном значении непрерывной функции на сходящейся последовательности). Путь функция f(x)определена в некоторой окрестности точки и непрерывна в этой точке. Тогда для любой числовой последовательности выполнено равенство

Теорема (о непрерывности сложной функции). Пусть функция y=f(x) определена в окрестности точки и непрерывна в этой точке. Пусть функция z=F(y) определена в окрестности y0=f(x0) и непрерывна в этой точке. Тогда в некоторой окрестности точки определена сложная функция , которая является непрерывной в точке .

Теорема (о нуле непрерывной на отрезке функции). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке и в концах этого отрезка она принимает значение разного знака. Тогда она обращается в нуль в некоторой точке этого отрезка.

Теорема (об ограничении непрерывной на отрезке функции) Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке, то есть

Теорема (Вейерштрасса).Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке . Тогда существует точка , в которой функция принимает наибольшее(наименьшее) значение, то есть

.

Теорема (о промежуточных значениях непрерывной функции). Пусть функция f(x)непрерывна на отрезке . Обозначим M(m) максимальное(минимальное) значение на этом отрезке. Тогда для любого числа найдётся точка такая, что f(t)=p.