Метод замены переменной (способ подстановки)

Пример 1. Найти неопределенный интеграл .
В данном примере множитель , стоящий под знаком интеграла, есть производная от выражения , стоящего в числителе, следовательно, для нахождения интеграла воспользуемся заменой:
,

.
Тогда:

.
Ответ: .

ВОПРОС№35: Интегрирование рациональных функций.

Интегрирование дробно-рациональных функций.

Рассмотрим правильную дробь

Представим знаменатель в следующем виде: .

Здесь – действительные корни многочлена, а -их кратности. Дискриминанты квадратных многочленовn являются отрицательными числами, то есть

Сумма кратностей

Теорема о разложении правильной дроби на сумму простейших дробей

(без доказательства). Верно разложение

Здесь – некоторые вполне определенные числа.

С учетом этой теоремы задача интегрирования правильной рациональной дроби сводится к интегрированию выражений следующего вида:

I.

II.

Пусть квадратный многочлен  px  q имеет отрицательный дискриминант, то есть .

III.

Далее,

IV.

Первый интеграл, стоящий в правой части этого выражения, имеет вид интеграла из пункта II.

Обозначим и рассмотрим второй интеграл L(k)= .

Второй интеграл в этом выражении интегрируем по частям

Следовательно, будем иметь

Из этого рекуррентного соотношения можем вычислить любой интеграл L (k).

Пусть теперь в () n  m. Тогда, разделив числитель на знаменатель, представим () в виде +правильная дробь.

 

ВОПРОС№36:Определенный интеграл и его геометрический смысл. Свойства определенного интеграла.

Пусть функция f (x) определена на отрезке [ a,b ]. Разобьем этот отрезок

Точками a = x0<x1<...<xi<xi+1<...<xn=b.

Назовем диаметром этого разбиения число d= max ( – ), i= 1, …. n- 1.

Возьмем [ ] и составим сумму )( которая называется интегральной суммой.

Определение. Число I называется пределом интегральных сумм ()() при диаметре разбиения d , если для такое, что для всех разбиений с диаметром d < и для любого набора точек выполняется неравенство

Теорема. Если предел интегральных сумм существует, то он единственен.

Доказательство. Предположим, что существуют два предела .

Возьмем любое число . Тогда для всех разбиений с достаточно малым диаметром неравенство () выполняется и для I 1, и для I 2. Следовательно, Устремим , получим противоречие .

Определение. Предел интегральных сумм ()() называется определенным интегралом и обозначается .

Функция f (x) в этом случае называется интегрируемой на отрезке [ a, b ].

Геометрический смысл определенного интеграла

Рассмотрим задачу об определение площади криволинейной трапеции aABb (см. рис.).

Заменим криволинейную трапецию системой прямоугольников. Суммарная площадь этих прямоугольников определяется формулой ()(). Предел интегральных сумм ()() при диаметре d и назовем площадью криволинейной трапеции. Итак, геометрический смысл определенного интеграла – это площадь криволинейной трапеции aABb.